每日一题（15）通过运算法则求极限
题：求极限 解： 1、题目中给出的计算式中含有两个算术级数表达式，但是因为形式上并不是计算通式，所以无法进行后续的推导，所以首先要先写成求和通式形式： 2、经过进一步的化简可以得到更简约的极限计算式： 3、至此会发现得到的极限计算是一个 形式，无法得到确切的结果。既然当前是 ，那么就设法令其计算因子的位置从分子调整到分母（或从分母调整到分子）上，看一看是否能有改善： 根号内计算式分子、分母同时乘以 4、至此发现调整之后依然是 的形式，并没有得到任何改善，因而上述思路并不顺利。重新观察上述推算，发现在第二步中，有毕达哥拉斯的味道，因而考虑分子、分母同时乘以一个共轭形式： 即： 5、再对分子、分母约分，即可得到 的极限形式，这个形式是有利于完成极限运算的： 至此，计算完成。 额外的，对于这个问题的图形，用sagemath绘制 进行观察，可以发现它的收敛非常快，当 时基本就已经逼近到收敛点附近了。
每日一题（21）求极限
题：求 心路历程： 首先最直观的，这道题中明显含有一些“算术级数的味道”，虽然因为分母的影响并不能直接形成求和级数，但仍然不影响给人的直观感受：。 而这个求和级数的显式表达式是 又恰与原题目中的各个独立计算项的分母同元同幂，所以便有了一个构造夹逼边界的思路。 解： 若将原题目中的各个独立计算项的分母全部调整成 ，则几乎所有计算项的分母都被放大了（只有最后一个表达式的分母没有被放大）；反之、若将所有分母都更改成 ，则几乎所有的分母都被缩小了（仅第一项分母没有被缩小）。 因为分母被放大，意味着整个分式变小了；反之，分母如果被缩小，意味着整个分式被放大了，因而可以得出不等式： 有： 经过上述的边界膨胀，得到的左边界和右边界，虽然还看不出对解题有利的结论，但至少得到的两个边界是可以各自完成合并计算的，合并之后的分子拥有显式表达、且显式表达与分母同元同幂，至此不妨按照这个感觉继续往后推导： 左侧： 右侧： 对如上得到的两个表达式分别计算 时的极限，容易得到其极限结果均为 ： 左侧： 左侧： 至此可依夹逼准则确定原题目问题的极限亦为 ，计算完成。