题：证明 一、心路历程： 1、这道题因为是对 求证极限，因而要使用的是 语言，而不应使用 语言进行求证； 2、使用 语言进行极限证明的思路是：无论设定多么小的 ，都能找到一个明确的 边界，使得所有 时的 ，都能令它的计算结果与目标点的接近程度比设定出来的 还要短小、精进； 3、当如上的找寻可以成立时，意味着找寻总是能够成功，便可以声明 时，计算结果可以无限趋近到目标点。 二、证明过程： 1、对于任意指定的大于零的 ，是否能够确定可以有，使得对于所有 时的 ，都能令 ？ 2、改用数学语言表述：，此时 还没有找到，问题就是要确定 是否可以被找到； 3、因为 时， 4、所以…

题：用 方法证明 心路历程： 1、首先，这道题目要求使用 语言及其思想，完成极限的证明。书上一直说的是 语言，我似乎一直喜欢称这个语言为 语言，但应该没有区别； 2、其次，题目中特意强调要使用 语言完成证明，这大概是在“暗示”给出的极限应该还有其他的方法进行证明么？ 解1：使用 语言及思想完成证明 1、对于 ，欲找到 ，使得对于 ，可以令 2、 3、注意到 中分子与分母因子项数量相同，所以符号可以上下同时逐项抵消，所以绝对值符号可以去掉，即： 4、 5、注意到：，即： 6、将5的发现、带入到4的表达式中： 7、第6步实际上是找到了一个介于不等式之间的比较数，当M边界确定之后，中间数如果能够满足更小比较、那么比中间数还要苛刻的原始数就更能满足更小比较了； 8、所以通过基于第6步放大得到的“中间数”去确定 取值依据：； 9、可通过不等式 确定边界条件 10、至此可以知道，对于…

题：利用极限定义证明 证明： 和前面若干道关于“数列的极限证明”有显著区别的是：1、这个极限是趋于定值，因而要使用 语言完成证明；2、这是一个函数极限证明、而不是数列极限证明。 1、对于 ，需总能找到 ，使得当 时，满足 2、对于 ，需总能找到 ，使得当 时，满足 3、想直接找到 并不容易，不妨先指定 且存在不等式关系 4、对上面的不等式进行化简：，最终得到不等式关系： 5、注意到第4步的结果中恰恰含有 这个自变量趋于极限距离表达，此时只要设 ，就可以找到 6、当 ，也就是 时，利用第4步的逆推，可以看出 是成立的，因而可以确定对于 都能找到明确的 可被找到并设定 7、至此，依据极限的定义，任由 被给出，总有…

题：证明 不存在 心路历程： 这道题目并不难得出结论，而且结论是十分显而易见的：因为含有周期函数在表达式中、而且周期函数本身是存在过零点的，因而计算结果也会是一个周期函数，虽然结果的摆幅不固定、但是结果的周期性是一定的、而且也是随着表达式中的过零点同频过零的，因而显然这个数列的极限并不固定、因而极限也就不存在。 但是这道题的困难在于：要将上面的想法转换成数学语言进行描述。 可以考虑从原有的自变量数列 中抽取出两个“子数列”，令这两个子数列恰恰分别是摆动极值和过零值，这样两个子数列各自由自己的“极限”、”恒等零“、”发散“等各自的表现，而两个子数列各自的”极限结果“并不统一，从而证明出原数列没有极限。 证明过程： 根据极限的定义，当 时，若极限值存在，则所有从 中抽取的子数列的极限值应相等。若存在子数列极限值不同，则原函数极限不存在。考虑到原始表达式中含有正弦因子，因而构造其特定的相位所形成的数列： 从 这个数轴数列中，抽取出两个子数列，分别是： 数列1：，当 时， 数列2：，当 时， 上述数列1和数列2，都是从原数轴上取得到的点，并且两个子数列并无交叉、重复取样，因而两个子数列可分别用于完成数列极限的推演。 之所以取上面的两个子数列，主要考虑的是正弦波形上这些特征点的结果可以是恒为0、或恒为1的，有助于更快的得到结果。也可以使用其他相位角构造数列，但是上述2个数列会令后面的计算与分析，更加简单。 设：，则可以将数列极限转换成等价的函数极限： 对于有： 对于有： 整理上面的分析，最终得到： 由于函数在上述两个不同的极限目标时得到的结果不相同，因而原始数列的极限收敛也不是唯一的，因而原始数列极限不存在，完成证明。

题：设函数 ，计算 解： 这道题很简单，只要利用基本的运算法则一步步推导即可。 欲计算 因为 ，原式继续推导： 经过约分和展开，可以进行化简，得到最终的极限结果： 虽然上面的推导和计算看上去似乎是“顺理成章、自然而然”的，但是我还是有一点困惑：题目中还给出了关于的限定条件：，这个限定条件在上面的计算和推导过程中并没有用到，这显然是不正确、至少是不完善的。 所以我想还需要对这些限定条件推敲一下、它为什么会给出？要在那些推导细节处予以考虑？

题：求极限 心路历程： 1、这道题目乍看上去，直观的感觉结果是无穷大，但实际上计算得出的结果却是确定的、而并不是无穷大。至于为什么会有这种直觉与事实的偏差，要好好反思、总结一下； 2、题目中的极限是趋于“负无穷”的，这在实际计算、推导的时候需要注意。 解： 原式 = = = = = = 此时注意到 的取值是在负数、负无穷时刻的，因而有 继续推导 = = = = = = 这道题我之所以会觉得有些“不可思议”，是因为按照原式来看，其中只是两个多项式相加，并没有分数、即没有比值的概念，而结果的-50显然是一个“比值、比率”，因而可以断定原始的表达式含有着一个分数形式。虽然推导计算的时候的确构造出了这个分数，但是直观的想，却很难从原式中看出这个“分数”来。这是为什么呢？ 实际带入了一些数据发现，我对“极限”的理解是存在误区的：极限并不一定是“比值”，上面结论的-50就不是比值，而是差值：是原始的计算式中两个计算项的差异比较： 虽然看上去是一个“加法”运算，但是因为 是在负数轴上移动，因而实际上是两个计算式的减法运算。换言之，上面的全部计算可以变换成如下的结论： ，也就是 和…

题：求 心路历程： 这道题目的分子和分母在自变量趋于零时，同时趋于无穷小，因而无法利用运算法则直接完成推导与计算。考虑将分子或分母中的自变量约去，只保留分母或分子中的自变量。 然而直接进行约分并不可行，原因是分子中含有无理项，因而先尝试对分子进行有理化，看是否能够顺利将分子中的因数提取出来、从而与分母中形成公因数、完成约分操作，再进而观察后续计算是否能够得到简化。 解1： 1、首先对分子进行有里化： = = = = 2、经过一次分子有理化之后并没能得到公因数，但是显然的，分子只要再进行一次有理化就可以将分子中的根号消除了，所以不妨再继续进行分子有理化、以观察是否能够将问题简化： = = = 3、经过两次分子有理化之后，顺利的将分子中的根号消除，并且已经见到分子和分母存在着公因子，进行约分简化： = 4、此刻可以发现计算式已经不再是 类型，因而可以尝试进行极限运算： = = = = = = 至此，完成极限计算。 解2：使用洛必达法则 基于计算式推导进行极限的计算是比较劳累的事情，因为计算过程比较多、容易出错。相对简单的则是直接使用洛必达法则，也就是对分子和分母同时求导——分子、分母在逼近极限时，各自的收敛速度之比，与他们在逼近极限时，各自的速率变化之比，是相同的。…

题：求 心路历程： 1、这道题并不是很好看出来究竟是不是 类型的极限，从直觉上总觉得分子并不会向着无穷位置行进。但是如果对分式进行展开，就能够比较容易的看出来这是 类型的了： 2、其实无所谓它是否是 类型，想对这道题进行计算，常规的路数都是一样的：设法将分子或分母中的根号消除掉，更为常规的，我依然考虑是将分子中的根号消除掉； 3、额外的，注意到题目中含有一个 因子项，这更令人联想到了 这种常见的极限形式，因而解题思路也是尽可能构造出这个形式的因子； 4、结合上面的思路，先尝试分子、分母同时乘以 以便构造出 因子尝试一下： 试解： 将原式 分子、分母同时乘以相同的 = = 如上的构造并没有使计算式有所简化，依然是 类型，根号没有被有效的消除、甚至引入了更多的根号变得更加复杂了。经过答案提示，正确的思路是分子、分母同时乘以相同的 ，于是按照提示再次尝试求解。 解： 将原式 分子、分母同时乘以相同的 = = 结合…