每日一题（11）：证明数列发散
题：设 ，证明数列 发散 心路历程： 1、对于一个数列，如果是收敛的，那么如果将这个数列按照一定的间隔抽取出各个数项、构成的“子数列”也是收敛、且各个子数列具有相同的收敛目标的； 2、反之，如果各个子数列中有任意一个子数列不收敛、或收敛目标与其它子数列具有不同的收敛值，那么原始数列就不是收敛的； 3、观察题目中的计算式，明显有一个正弦因子，随着数列的增长，这个正弦因子明显存在着周期性，因而可以从这个特点着手，尝试解决问题。 证明： 将原始数列分拆成四个子数列，如下： 第一象限数列： 第二象限数列： 第三象限数列： 第四象限数列： 以上分割出来的四组子数列，全部收敛于相同值才能充分确保原数列收敛；有任意一个数列与原始数列不同收敛、或有任意两个子数列彼此不同时收敛，则均可以证明原始数列不收敛。因而只需使用第一象限数列和第四现象数列即可解决问题： 第一象限数列： 第四象限数列： 以上两个子数列，各自的正弦因子项，一个恒为1、另一个恒为0，因而可以分别进行简化，得到： 第一象限数列： 第四象限数列： 这时只需再考虑第一象限数列的计算式是否与零相等，因为是“结论早在心中”，因而现在想的就是它一定不是零。稍微动笔计算一下：。 至此可见抽取出来的子数列已经呈现出了不同的收敛趋势，因而原数列不收敛。 当然还可以更大胆的幻想一下：虽然没有对四个子数列全部考察、也没有更详尽的推敲，但原数列大概应该不是发散的、只是没有明确的收敛点，而是在一个范围内反复横跳、不断震荡的。无论如何，已经证明原数列确定是不收敛的。 至此，依题目要求，证明完成。
每日一题（13）证明数列的极限不存在
题：证明 不存在 心路历程： 这道题目并不难得出结论，而且结论是十分显而易见的：因为含有周期函数在表达式中、而且周期函数本身是存在过零点的，因而计算结果也会是一个周期函数，虽然结果的摆幅不固定、但是结果的周期性是一定的、而且也是随着表达式中的过零点同频过零的，因而显然这个数列的极限并不固定、因而极限也就不存在。 但是这道题的困难在于：要将上面的想法转换成数学语言进行描述。 可以考虑从原有的自变量数列 中抽取出两个“子数列”，令这两个子数列恰恰分别是摆动极值和过零值，这样两个子数列各自由自己的“极限”、”恒等零“、”发散“等各自的表现，而两个子数列各自的”极限结果“并不统一，从而证明出原数列没有极限。 证明过程： 根据极限的定义，当 时，若极限值存在，则所有从 中抽取的子数列的极限值应相等。若存在子数列极限值不同，则原函数极限不存在。考虑到原始表达式中含有正弦因子，因而构造其特定的相位所形成的数列： 从 这个数轴数列中，抽取出两个子数列，分别是： 数列1：，当 时， 数列2：，当 时， 上述数列1和数列2，都是从原数轴上取得到的点，并且两个子数列并无交叉、重复取样，因而两个子数列可分别用于完成数列极限的推演。 之所以取上面的两个子数列，主要考虑的是正弦波形上这些特征点的结果可以是恒为0、或恒为1的，有助于更快的得到结果。也可以使用其他相位角构造数列，但是上述2个数列会令后面的计算与分析，更加简单。 设：，则可以将数列极限转换成等价的函数极限： 对于有： 对于有： 整理上面的分析，最终得到： 由于函数在上述两个不同的极限目标时得到的结果不相同，因而原始数列的极限收敛也不是唯一的，因而原始数列极限不存在，完成证明。