《第6章：求解微分问题》二刷笔记
刚刚阅读完第6.1和6.2两篇章节的内容，阅读完成之后我就“慌张”了，因为我忘记了为什么要阅读这两个章节、为什么要“二刷”这部分的内容。好在后来又想起来了。这是一个教训，今后要准备个记事本，将每时每刻的想法都记录下来（年龄大了，记忆力明显出了问题）。 我之所以要二刷这两个章节，原因是之前完成了《普》的粗略学习之后，在这本书中夹入了不少的便笺、记录着自己的困惑和不解。我想等第一遍阅读完成之后，会从头翻阅一遍，将其中所有的便笺找出来，逐一夯实一下。 今天晚上从头翻查，第一张便笺便是出现在第六章中的。但是这张便笺我已经忘记当初写的时候是什么想法了，所以只好又从头阅读。将6.1和6.2阅读下来，之前的便笺内容并没有解决（也可能多少解决了一些），但是却又多出来几个新的困惑，逐一记录，并且期望逐一解决吧。 这是今天新增加的便笺，今天稍后一些的阅读其实已经解答了这个问题。所以一刷的时候不存在这个困惑、二刷完成的时候也不存在这个困惑。这个困惑只在于刚刚阅读到6.1时才会产生。乘积求导法则之所以是这个形式，后面是有解释的，利用了uv视为矩形面积时，d(uv)就是这个面积增量的例子进行了解释。 当然这里我其实还是存在一些困惑的（后面的便笺）中有记录。 这张便笺中第二个问题其实我也存在着困惑，书上对乘积法则、商法则、链式法则，都给出了两种形式版本，但是我却看不出两个版本的区别。有区别吗？在我看来没有区别，只是一个写得正规一些、另一个版本写的相对简化一些，并没有看出这两个版本对于实际解题，有什么本质的区别。 书上给出的三个法则顺序是：乘积法则、商法则、链式法则。在我看来，商法则应该最后给出来才更好一些，原因是商法则可以通过乘积法则和链式法则的合作，推导出来。 这里有一个问题：如果对求导符号理解的不够深刻，在自己尝试推导商法则的时候，往往会注意不到其中的一个细节，忽略了其中隐含的链式求导，只应用乘积法则进行推导，最终推导出错误的商法则。因而理解求导符号、看清楚其中的函数、尤其看清楚函数的自变量，才能发掘其中的链式函数，进而得到正确的结果。（这段描述又是语焉不详的，我甚至能够想见，未来自己再看自己写的这段话时，一定会忘记自己此刻的想法。所以对于这段表述，应该再额外的详细写一下，说明究竟哪里是需要用到链式求导法则的）。 便签下面提到的两个为什么成立，书中稍后便是解释，其中乘积法则的解释上文提到了，利用的面积观察。而链式法则，用到的什么方法我也说不清楚，但此刻我是理解了的，但为了防止今后的遗忘，也要再抽时间总结成文章记录下来。 这张便笺，连同后面原文的第一句话、铅笔备忘、下面的蓝色备忘，对我而言都是一个事情：我始终不理解微分符号究竟是个整体、还是个因子。书上此刻说它是个整体，但在实际做题时往往会被他们当成因子看待，这是什么原因？ 这张便笺也是我的一个朦朦胧胧的困惑，为什么微分中高阶无穷小是可以被忽略掉的？怎么就被忽略掉了？上大学的时候这里我就没有搞清楚，稀里糊涂的混过去了，如今还是不清楚，所以也只好再次记录下来，期待接下来的日子里，能把这个细节搞搞明白。
微分（12、13、14章）学习笔记
今天一天完成了微分章节的“第12章-第14章”的阅读，相比之前各个章节的阅读速度，这三章阅读起来显然是快了许多。但这并不能说明我的头脑已经适应了数学、只是因为这三章的内容比较少，相对容易阅读和理解。 第12章、绘制函数的图像 我在阅读这一章的时候，心中总是想着用sagemath能够方便的完成函数图像的绘制，所以有一些放松警惕，完全没有深入思考书中的每一个细节。实际上如果真想将一个函数准确的、正确的、按照书中的步骤绘制出来，恐怕对我而言还是非常难的。 第13章、最优化和线性化 这一章的内容相对来说是我比较感兴趣，觉得有意思、有趣的。它可以解决实际的问题，而且让我感受到利用导数寻找最优化数值的神奇。 第14章、洛必达法则及极限问题总结 这一章其实是分成两部分的。首先是对于一些极限表达式，如果符合洛必达法则的规则，便可以通过洛必达法则对其求解极限。第二部分则是对求极限问题的一个归纳和小结，将当前14章知识中所有可以用于求极限的手段进行了归纳。 其中洛必达法则作为常用的求极限手段，给出了若干的例题。我囫囵吞枣地跟着书上的内容看了一遍，但是既没有动笔动手跟着计算、也没有额外找来其它练习题自己进行独立推敲。 所以如果后期有时间了，我想这块内容还是要再花时间重新温故、稳固。 无论如何，今天感觉还是很开心的，终于将手中的这本微积分读物完成了50%的阅读。接下去将开始下半场旅程——继续后面积分部分的阅读和学习。
《指数函数和对数函数》(9章)学习笔记
第九章学习的很辛苦，正如这章引言所说：这是很长的一章内容（注1）。断断续续用了近一个月的时间，也才只将主要内容读完，最后还遗留了一个“双曲函数”没有阅读（因为双曲函数不常见，这一章又实在太长难以坚持，所以放弃最后的双曲章节学习）。 这一章的内容给我的感觉是“又多又乱”，起初阅读的时候总会读着读着就有种莫名其妙、甚至不知所云的感觉。其实直到今天完成阅读，仍然有点儿一头雾水的感觉。我想大概应该有以下几方面的原因： 1、指数函数和对数函数是非常重要的 在工程或自然科学领域，指数函数和对数函数十分重要且常见，第九章的撰写目的则是要从基础概念（什么是指数函数、什么是对数函数），一直讲解到实际应用（指数增长、指数衰变），这样走马观花的快速概览，使得内容上的连贯性变差了，跳跃性比较大，所以读起来有些跟不上作者的思路； 2、全章其实是分成三大部分的 正因为上面提到的全章是从始至终的讲解，在没有完整阅读完成之前，就有一种摸不清脉络的感觉。全章阅读下来，可以发现它的脉络还是非常清晰的：基础介绍（1-2节）、导数与极限（3-4节）、数学计算应用（5节）、工程应用（6节）； 3、其中的导数、极限章节阅读的混乱感 尤其是在阅读第3节、第4节时，明显有一种混乱、不知脉络的感觉。 首先是自己对微分课程还不是十分清晰，正是这种不清晰的认识，总感觉微分课程不是应该先引入极限、再从极限的概念完成微分和求导的计算么？可第九章的编排，怎么是先完成指数函数和对数函数的求导、然后又返回去聊他们的极限了呢？ 尤其是：极限这么基础的概念，为什么要反而放在求导后面再去介绍？又为什么花费那么大的篇章、篇幅去不断推导各处的极限呢？ 我在阅读9.4的时候，总以为这些极限是再给求导做铺垫，而且总是奇怪“求导不是明明已经在9.3中完成了吗？”，正是这样的困惑和对后续的期待，导致9.4看得十分吃力。 在完成全章的阅读，尤其是反复的几遍阅读之后，我似乎明白了它的章节依据：9.3章将的是指数函数和对数函数的求导，这就是全章的“微分课程重点章节”，这一节的学习隐含着一个前提：读者是已经了解了极限的概念的，所以在完成本章1-2节基础课程之后，直接完成9.3的函数求导学习便可以了。 接下来的9.4节（极限）与前面的“9.3求导”已经没有关系了，这里的极限是额外的、深入的研究指数函数和对数函数的图像、在各个重要结点上面的极限情况。同时这一节为了求某些函数的极限，要用到“隐函数求导”机制，所以将这一极限知识放在求导知识的后面：既可以认为它是独立的一个章节、又需要一点点的前节内容基础。 所以9.4的极限章节可以说是独立的，学习它的目的只是对指数函数和对数函数有更细节的了解，而与微分关联不大。 4、后面的几个章节更是彼此独立的话题 如前面总结的，全部第九章内容看上去很多，实际重点只有9.3一节，恰恰与感觉相悖：这一章的核心内容很少。只不过是被9.4节冗长的内容误导了，后面的9.5、9.6、9.7更是与函数求导无关，都是独立的话题。 例如9.5节说的是“取对数求导法”，这是一个利用对数特性完成各类复杂多项式求导的技巧（注2），相当于是一个数学计算的应用技巧；9.6节则是介绍指数增长、指数衰变的话题，是工程应用上的实例介绍。 因为后面的若干章节内容，都是彼此独立（相对独立）的，所以阅读起来并没有依赖关系，此时如果总以为它们是在给后面的内容做铺垫，势必就会被后面“突变”的话题错愕到，茫然又不知所措。 虽说完成了这一章的初步阅读，大体上也觉得自己的理解没有错误，可细细想来其中还是有非常多的不理解的地方，需要再单独花时间详细的列出所有自己囫囵吞枣、不理解的细节，然后再花时间详细推敲。 注解： 注1、幸好手中用的是《普林斯顿微积分读本》第二版、又有这本书的英文版，否则如果只单纯依靠网络上找到的第一版电子版进行学习，那么学习起来也许会更加吃力。通过英文版、第二版的对比阅读，学习起来还是比较容易、能够理解作者究竟是想表达什么内容的； 注2、这就是有纸质第二版和英文版的好处，如果只看第一版内容，就会发现9.5章节的标题是“错误的”，在第一版中，9.5章节翻译成“对数函数求导“，修订版翻译成”取对数求导法“，修订后的文字更准确：这是一种利用对数特性进行数学计算的方法技巧，可以用于完成复杂多项式的简化计算。
“微分和导数”相关章节内容学习笔记
以下笔记为个人学习“微分”时的笔记，比较啰嗦、凌乱，并且其中表述可能存在错误与不准确，个人观点、仅供参考。 一、因变量与自变量的比率： 试想有如下一个函数：，这里的函数名称是，自变量是，函数的计算结果命名为、并称这个结果为因变量。 也就是说当自变量发生变化的时候，整个函数式的结果、也就是因变量会随之产生变化。换言之，会随着的变动而变动。 如果自变量有了的变动，因变量则会联动的产生的变动。此时我们想知道自变量的这个变动会致使因变量产生多大程度的变动、这种联动是以什么程度传递的：是线性的、还是放大的、又或者只会引起很小的扰动、还或者几乎不会导致扰动？ 数学上可以用二者变化的比值权衡，也就是因变量受到自变量扰动的程度是。这样如果则意味着自变量的变化会线性影响因变量，如果则意味着自变量的变动会导致因变量产生100倍的放大。 上面提到的也好、也好，都是具体的情况，现实并非这样具体的数值，以这篇文章最开始的函数来看，它的因变量与自变量的比值计算结果是： 这时可以看到对于函数而言，当它的自变量变化一点点、因变量会联动着变化一点点。二者的变化比率计算出来是，也就是因变量的联动量，是，自变量的扰动量，的两倍，多一丢丢。把那一丢丢忽略掉，简化的、大约地说，因变量的联动量是自变量扰动量的两倍。 自变量在哪里开始进行扰动呢？没准儿，自变量可以在数轴上任何一个地方开始做起始点，进行扰动。而自变量在不同的轴坐标点上的扰动，的具体数值都会不同。所以在没有明确从哪点开始扰动时，并不是准确的数值，它只是一个新的函数，要等的起始点明确时、的数值才能明确。 在没有明确前，是个函数，具体而言就是。 假设在处，发生了的扰动，因变量则会产生的联动，而因变量与自变量各自的变动量的比值，为100.001倍，将一丢丢忽略掉之后，就是100倍，这与 当 时 是吻合的。 上面提到的在没有明确前，是一个函数式，这个函数称为“比率函数”。上面提到的当明确时，也就随之有了具体的数值，这个具体的数值，称为“比率”。所以是有两个不同的“阶段”的，比率函数阶段、比率数值阶段： 1、当处于比率函数阶段时，是个函数，描述了原函数因变量与自变量的比值的关系； 2、当处于比率数值阶段时，是个数值，描述了原函数因变量与自变量的比值； 上面两句话几乎完全一样，但是细细品味，第一句是个图像、第二句是个具体的数值结果。 二、微分系数，也就是导数名称的由来： 上面一直在用和表示很小，换种表示的方法，用和来表示，暂且认为只是表示形式上的替换，本质上没有差异。 事实上，这里应该是有着本质的差异的，前者是在表示“增量”，而者表示“极限增量”，前者更侧重于“增量的增”，后者侧重于“极限增量中的近乎于极限痕量”。甚至还有更深层的含义我尚未可知。但不重要，暂且认为二者没有区别，就是形式上的替换好了。 同时给这个或者替换之后的符号一个名称，称它为“微”，很贴切，就是“微小的微”。 这样，或者就可以念出来了，念做“微y比微x”，或者“微y除以微x”。尤其对于是分数形式的，所以这个整体上看就是“微分形式计算式”、简称“微分”。 前面已经计算过，现在用微分形式替换，写成，这其中的“比率函数”是前面商式的结果，做一些变换可以将这个“比率函数”看的更清楚一些： 这里的是“微y”前面的系数，更罗嗦地说它是“比例系数”，既然上面的式子已经改口叫“微分”了，那不妨将这个“比例系数”也改口称为“微分等式系数”，再简称为“微分系数”吧。可是即便将它简称为“微分系数”似乎还是有一些罗嗦的，这里再给它一个新的名称，称微分系数为“导数”。 显然，这一连串的重新命名可以原路啰里啰唆的说回去，“导数”就是之前提到的“比率”，所以和在用“比率”称呼它时是一样的，导数也是有两个阶段的： 导函数阶段，对应着上面提到的“比率函数”；导数阶段，对应着上面提到的“比率数值”阶段。但是通常不会区分导数和导函数，就都用“导数”来说，总之就是没有明确启示数值时，导数是个“函数”，明确了的数值时，导数就已经是一个明确的数值了。