一、上一章遗留的一个小问题： 这一章整体阅读完成之后，算是将上一章遗留的困惑搞清楚了一些： 假设有一个可导函数 f ，它的导数总是正的，它的切线的斜率必定处处为正，故该函数不可能上下起伏，该函数一定是递增的。在第11章将证明这个事实。不管怎样，如果函数 f 总是递增的，那么它一定满足水平线检验。 第10章开始处的一段话 就是上面这句话，出现在第10章的开始处，我是读了好几遍也没有明白“这个事实”指的是“哪个事实”。所以索性就把这段文字中所有可能是“事实”的事情都先罗列出来吧： 1、如果可导函数 f 的导数是正的，该函数一定是递增的； 2、如果函数 f 总是递增的，那么它一定满足水平线检验。 而在第11.2章节中提到： 下面举一个罗尔定理应用的例子：假设有一个函数 f 满足 f’ (x) > 0 (对于所有的 x)，在 10.1.1 节中，我们断言该函数一定满足水平线检验。…

间断了一些时日，终于将《第十章、反函数和三角函数》阅读完了。整体感觉这一章的内容远比前面第九章简单、少很多。所以只花了一周左右的时间就基本粗读完成了。 在阅读这一章的时候有几个比较明显的困难摆在我的面前：首先就是在函数的反函数为什么可以直接通过对原函数的x和y进行对调，就可以得到，这里花了不少的时间，直到现在我也是似懂非懂、一头雾水。 另外就是这一章其实我并没有从始至终阅读完成，其中有几个三角函数我并不了解。前面一些章节中也有类似的情况，当遇到正割、余割时，我都只是囫囵吞枣的看过去；然后在面对双曲函数的时候则是飞快地翻过去的。 如果今后有时间，或者更准确地说如果用到了吧，再学习这块知识。 这一章阅读的过程中，因为自己的电脑升级了、有了更好用的辅助工具，所以配合着软件、工具，也做了更多的上手尝试。这里有两篇这一章的学习笔记：反函数学习笔记（1）、反函数学习笔记（2）。 当完成第十章的阅读时，其实除了上面笔记中的问题，我还存在着另外一个困惑： 这一章的重点究竟在哪里？是在介绍三角函数么？这可是微积分教材呀！所以这一章的重点应该是在介绍：在已知一个函数的前提下，如何计算这个已知函数的反函数的导数。 罗嗦的解释一下就是：已知函数，不求它的反函数的显式形式、避开它反函数的显式定义，而直接求出这个反函数的导数来。这是我的困惑便产生了：既然是在讲解“函数的反函数求导”，为什么全章都在介绍各种三角函数、反复用各种三角函数去完成举例呢？ 它为什么不用多项式函数、指数函数、对数函数等举例，而非要一个个三角函数的拿出来，画出他们的反函数、找出这些反函数的导数呢？这有什么特殊的用意吗？或者，是否是因为反函数求导，更多的出现在三角函数领域中？ 我现在只能把这个困惑先放一放，姑且认为也许就是因为三角函数的反函数比较常见、特点比较鲜明吧。 无论如何，这一章阅读完成，接下去我将一鼓作气，尽快将这本书的前半部分——微分——阅读完成。

第九章学习的很辛苦，正如这章引言所说：这是很长的一章内容（注1）。断断续续用了近一个月的时间，也才只将主要内容读完，最后还遗留了一个“双曲函数”没有阅读（因为双曲函数不常见，这一章又实在太长难以坚持，所以放弃最后的双曲章节学习）。 这一章的内容给我的感觉是“又多又乱”，起初阅读的时候总会读着读着就有种莫名其妙、甚至不知所云的感觉。其实直到今天完成阅读，仍然有点儿一头雾水的感觉。我想大概应该有以下几方面的原因： 1、指数函数和对数函数是非常重要的 在工程或自然科学领域，指数函数和对数函数十分重要且常见，第九章的撰写目的则是要从基础概念（什么是指数函数、什么是对数函数），一直讲解到实际应用（指数增长、指数衰变），这样走马观花的快速概览，使得内容上的连贯性变差了，跳跃性比较大，所以读起来有些跟不上作者的思路； 2、全章其实是分成三大部分的 正因为上面提到的全章是从始至终的讲解，在没有完整阅读完成之前，就有一种摸不清脉络的感觉。全章阅读下来，可以发现它的脉络还是非常清晰的：基础介绍（1-2节）、导数与极限（3-4节）、数学计算应用（5节）、工程应用（6节）； 3、其中的导数、极限章节阅读的混乱感 尤其是在阅读第3节、第4节时，明显有一种混乱、不知脉络的感觉。 首先是自己对微分课程还不是十分清晰，正是这种不清晰的认识，总感觉微分课程不是应该先引入极限、再从极限的概念完成微分和求导的计算么？可第九章的编排，怎么是先完成指数函数和对数函数的求导、然后又返回去聊他们的极限了呢？ 尤其是：极限这么基础的概念，为什么要反而放在求导后面再去介绍？又为什么花费那么大的篇章、篇幅去不断推导各处的极限呢？ 我在阅读9.4的时候，总以为这些极限是再给求导做铺垫，而且总是奇怪“求导不是明明已经在9.3中完成了吗？”，正是这样的困惑和对后续的期待，导致9.4看得十分吃力。 在完成全章的阅读，尤其是反复的几遍阅读之后，我似乎明白了它的章节依据：9.3章将的是指数函数和对数函数的求导，这就是全章的“微分课程重点章节”，这一节的学习隐含着一个前提：读者是已经了解了极限的概念的，所以在完成本章1-2节基础课程之后，直接完成9.3的函数求导学习便可以了。 接下来的9.4节（极限）与前面的“9.3求导”已经没有关系了，这里的极限是额外的、深入的研究指数函数和对数函数的图像、在各个重要结点上面的极限情况。同时这一节为了求某些函数的极限，要用到“隐函数求导”机制，所以将这一极限知识放在求导知识的后面：既可以认为它是独立的一个章节、又需要一点点的前节内容基础。 所以9.4的极限章节可以说是独立的，学习它的目的只是对指数函数和对数函数有更细节的了解，而与微分关联不大。 4、后面的几个章节更是彼此独立的话题 如前面总结的，全部第九章内容看上去很多，实际重点只有9.3一节，恰恰与感觉相悖：这一章的核心内容很少。只不过是被9.4节冗长的内容误导了，后面的9.5、9.6、9.7更是与函数求导无关，都是独立的话题。 例如9.5节说的是“取对数求导法”，这是一个利用对数特性完成各类复杂多项式求导的技巧（注2），相当于是一个数学计算的应用技巧；9.6节则是介绍指数增长、指数衰变的话题，是工程应用上的实例介绍。 因为后面的若干章节内容，都是彼此独立（相对独立）的，所以阅读起来并没有依赖关系，此时如果总以为它们是在给后面的内容做铺垫，势必就会被后面“突变”的话题错愕到，茫然又不知所措。 虽说完成了这一章的初步阅读，大体上也觉得自己的理解没有错误，可细细想来其中还是有非常多的不理解的地方，需要再单独花时间详细的列出所有自己囫囵吞枣、不理解的细节，然后再花时间详细推敲。 注解： 注1、幸好手中用的是《普林斯顿微积分读本》第二版、又有这本书的英文版，否则如果只单纯依靠网络上找到的第一版电子版进行学习，那么学习起来也许会更加吃力。通过英文版、第二版的对比阅读，学习起来还是比较容易、能够理解作者究竟是想表达什么内容的； 注2、这就是有纸质第二版和英文版的好处，如果只看第一版内容，就会发现9.5章节的标题是“错误的”，在第一版中，9.5章节翻译成“对数函数求导“，修订版翻译成”取对数求导法“，修订后的文字更准确：这是一种利用对数特性进行数学计算的方法技巧，可以用于完成复杂多项式的简化计算。