题：求函数 的定义域 解： 1、对于 而言，由对数定义限定导致 ，因而有 ； 2、对于 而言，由于开方限定导致 ，因而有 ； 这里1比较容易看明白，2对于刚刚接触指数和对数的我而言有些绕脑子，不妨这么想： 设 ，这样就有 ，因为 ，所以 ，所以 。 整理之后得到 且 最后可以得到同时满足上述两个方程的取值范围也就是原函数的定义域，定义域是 。

题：已知 ，求 。 解： 这道题我并不会更好、更巧妙的方法，只能按照书上的思路、也就是通过对上面的表达式不断地调整，力求找出与给定参数一致的表达形式。 至此，就将表达式中构建出了与参数表现一样的项，即可找到解答：。 但是这样求解这个问题需要的是“灵感”，或者说是思路的确是在想着正确的方向前进。如果思路错了，那么就会很难在短时间内找到正确的答案。 有没有更通用、不依靠灵感、更依靠通用步骤的方法呢？ 解2： 仔细观察题目，会发现自变量与结果之间，似乎是存在着“平方”的关系的，因而不妨先试一下直接对题目中的自变量进行平方，看一下结果：。 所以直接平方之后的结果中就已经包含了原题目的结果，只不过是倒数形式，还差着一个常量数值。因而可以做一个新的函数再感受一下，设函数 ，此时将自变量带入得到：。此时与结果已经非常接近了，只要再稍微休整一下就可以得到正确结果了。 修正很简单，就是做成倒数形式：，经过变量带入验证正确，即可得到最终的正确结果：。 用“解2”然后也是需要一点点的观察和灵感的，但是它的“灵感火花”是在最初使用的，一旦使用之后就能够看出来与正确结果的方向是否一致，并且后面的推导始终向着正确目标前进，所以相对而言更容易把路走对。

这是一道考研题，主要考察将两个分段函数复合成一个复合函数的过程。自己试着做了一下，并没有什么特别的感觉和想法，所以解法也就中规中矩、与书上过程相同。

题：判断函数 在区间 上的单调性。 解： 既然是判断、讨论函数的单调性，就不大可能只通过“画出”或“脑中能够想到”函数的图像来直接完成函数单调性的论述。况且，这道题之所以能够想到它的函数图像，是因为这个函数恰巧常见且简单。如果换做一个复杂的函数，就不能直给出图像了。因而这道题的解答还是要利用数学推导完成。 一、解答过程： 首先是在区间 上任意选择两个点，分别命名为 且 。之后尝试进行两个结果相减，判断结果的表达式 是否恒大或恒小。 上面构建出来的差式是无法完成结果正负判断的，只有利用余弦和差化积将它转换为乘积形式，才能够完成判断。 因而： 因为：，所以： 因为：，所以： 所以结果恒为负数，从而得出在制定区间上，题目中的函数为单调递减的。 二、额外说明： 其实在上面的解答过程中会发现，原始问题并没有得到解决，因为在上面的解答过程中，原始问题被新的子问题取代了，而新的子问题其实是在问为什么在这个区间上的正弦值始终是大于零的。但是这个子问题因为太基础，所以默认成“显然的”而无需进一步去说明了。 三、和差化积： 还有一个基础问题，如何完成的和差化积？ 因为 相似的 然后就可以得到：

题：设 的定义域为 ，且对 都有 ，且 。证明 为偶函数。 证明： 1、对于题目中给出的“函数约束等式”已知： 2、对其中的自变量 取其负数 ，带入可得新的约束等式： 3、对上述两个函数性质约束等式进行整理，并可观察出它们的左侧形式完全相同，所以右侧亦相等；经过联合、提取后可得： 4、又因 ，且常数2为正数，所以可以同时消去而不影响等式依旧成立、亦不会因消去公因子而引起符号变化。消去公因子之后即可得到 ； 5、对自变量名称进行变换，故有 ，得到函数 具有偶函数性质的明确表达，即： 满足偶函数的定义：。所以是偶函数，得证。

题：设 的图形关于 对称（）。 求证： 是周期函数并求其周期。 求解：正道题目书上给出来的答案显然是存在缺陷的。如果仔细看书上的问题和答案，会发现它为了规避“缺陷”，在题目和答案上都留下了“小心思”。 题目中问的是“求其周期”，答案中给出来的是“这是一个周期”，都规避掉了“最小”这个说法。因为一旦说出来“最小”这个词，就要证明找到的周期T是最小的周期。但显然书上的答案中并没有提及“最小”，因而也就无需论证了。而它的答案之所以敢于忽视“最小”，恰恰是因为题目中也没有提及“最小”。 但是我觉得这样不好，所以还是对题目重新调整一下，调整之后：设 的图形关于 对称（）。求证： 是周期函数并求其最小周期。 如此的话，整个题目要想完成解答，需要分成4部分：1、先搞清楚什么是“对称性”；2、然后证实函数是周期函数；3、找出周期函数的周期T；4、对T进行进一步的分析，证实T的确是函数的最小周期。 按照如上的思路，解答过程如下： 第一步、对称性 如果函数 关于 点对称，意味着函数满足：。 此时重新设自变量为 ，且，依然满足上述对称性关系式。即：。整理后得到 。 这样整理出来的关系式不够直观、不好，重新做上一步： 此时重新设自变量为 ，且，依然满足上述对称性关系式。即：。整理后得到 。 这样得到的函数的对称性可用于后面的推导，将原题目中的对称点带入，将函数对称性列出来备用： 关于点对称： 关于点对称：…