题：设 的定义域为 ，且对 都有 ，且 。证明 为偶函数。 证明： 1、对于题目中给出的“函数约束等式”已知： 2、对其中的自变量 取其负数 ，带入可得新的约束等式： 3、对上述两个函数性质约束等式进行整理，并可观察出它们的左侧形式完全相同，所以右侧亦相等；经过联合、提取后可得： 4、又因 ，且常数2为正数，所以可以同时消去而不影响等式依旧成立、亦不会因消去公因子而引起符号变化。消去公因子之后即可得到 ； 5、对自变量名称进行变换，故有 ，得到函数 具有偶函数性质的明确表达，即： 满足偶函数的定义：。所以是偶函数，得证。