每日一题（22）利用单调有界定理求证极限
题： 设 （1）求证：数列 单调减少且有下界 （2）求 预备知识： 这道题中隐含着一个预备知识：算数-几何平均不等式（Arithmetic-Geometric Mean Inequality），简称AM-GM不等式。这个不等式的通式，是对于非负实数 ，有着AM-GM关系： AM-GM不等式： 题目中用到的是AM-GM不等式是当 时的特例： 对于AM-GM的通式推导我还没有掌握，但是对于如上的特例推导并不难，可以利用毕达哥拉斯公式完成证明。无论如何，这个AM-GM的预备知识暂时认为是已经掌握了的，由此基础，进行题目的解答。 解： 第一步：首先确定数列是有界、有下届的： 因为：，所以通过计算得出，但并不能因此就说。因而这里要使用数学归纳法进行证明： 1、当 时，显然 成立； 2、假设 ，证明 ： 显然成立，得到证明； 3、由数学归纳法可知 成立。 通过数学归纳法完成…
每日一题（23）利用数学归纳法求数列极限
题：设 ，，证明数列 有极限，并求此极限。 心路历程： 这道题不妨先“本末倒置”的思考：首先假设数列有极限，能否直接计算出极限来呢？显然如果数列有极限，那么这个极限将是非常容易计算出来的： 设： 那么显然 ，同时 于是可以得到 ，只要求解就可以得到 和 ，只要再稍作推敲既可以舍弃其中一个根，最终得到极限是 然而事实上，如上的“心路历程”是建立在“数列有极限”的前提假设基础上的。如果数列本身就没有极限，那么上述一切论断，都不能成立。所以这道题实际上就是在问数列是否存在明确的极限。 要想确凿数列存在明确的极限，就是要确定数列的单调性和有界性。如果数列单调、有界，那么就意味着数列存在极限。所以这道题的解答思路分成三步：1、证明数列单调；2、证明数列有界；3、确定单调有界之后可生成数列存在极限 ，然后构建方程式求解极限值。 解答： 第一步、证明数列单调： 使用数学归纳法完成这一步的论证，数学归纳法又是分成3步：1、起点成立；2、假设任意 步成立；3、证明 步成立。 1、起点成立： 因为 ，可见 ，至此如果说数列是递减数列，显然起点成立； 2、假设成立： 设 时的…
复变练习题（1）：复数运算计算
题： 解1：使用代数式完成运算 解2：使用三角式完成运算 这道题做得还是比较开心的，主要开心于2点： 首先是这道题让我明白了复数角度的计算，这恰恰是前几天学习RC振荡电路的时候其中角度的计算过程。在RC电路部分，我只是死记硬背了这个相移角的计算，直到昨天做《复变函数》相关的题目、也就是上面这道题目的时候，才理解了RC中的阻抗相移角计算的缘由； 其次，这道题目中使用了一个正切相加等于90°的技巧，这个技巧以前我并不知道，导致上面这道题在使用三角式求解时一直无法进行下去。今天通过画图才理解了“正切相加等于90°”这样一个“隐含条件”，完成了计算，非常开心。