M3WE·学习笔记

题：证明 不存在 心路历程： 这道题目并不难得出结论，而且结论是十分显而易见的：因为含有周期函数在表达式中、而且周期函数本身是存在过零点的，因而计算结果也会是一个周期函数，虽然结果的摆幅不固定、但是结果的周期性是一定的、而且也是随着表达式中的过零点同频过零的，因而显然这个数列的极限并不固定、因而极限也就不存在。 但是这道题的困难在于：要将上面的想法转换成数学语言进行描述。 可以考虑从原有的自变量数列 中抽取出两个“子数列”，令这两个子数列恰恰分别是摆动极值和过零值，这样两个子数列各自由自己的“极限”、”恒等零“、”发散“等各自的表现，而两个子数列各自的”极限结果“并不统一，从而证明出原数列没有极限。 证明过程： 根据极限的定义，当 时，若极限值存在，则所有从 中抽取的子数列的极限值应相等。若存在子数列极限值不同，则原函数极限不存在。考虑到原始表达式中含有正弦因子，因而构造其特定的相位所形成的数列： 从 这个数轴数列中，抽取出两个子数列，分别是： 数列1：，当 时， 数列2：，当 时， 上述数列1和数列2，都是从原数轴上取得到的点，并且两个子数列并无交叉、重复取样，因而两个子数列可分别用于完成数列极限的推演。 之所以取上面的两个子数列，主要考虑的是正弦波形上这些特征点的结果可以是恒为0、或恒为1的，有助于更快的得到结果。也可以使用其他相位角构造数列，但是上述2个数列会令后面的计算与分析，更加简单。 设：，则可以将数列极限转换成等价的函数极限： 对于有： 对于有： 整理上面的分析，最终得到： 由于函数在上述两个不同的极限目标时得到的结果不相同，因而原始数列的极限收敛也不是唯一的，因而原始数列极限不存在，完成证明。

题：设函数 ，计算 解： 这道题很简单，只要利用基本的运算法则一步步推导即可。 欲计算 因为 ，原式继续推导： 经过约分和展开，可以进行化简，得到最终的极限结果： 虽然上面的推导和计算看上去似乎是“顺理成章、自然而然”的，但是我还是有一点困惑：题目中还给出了关于的限定条件：，这个限定条件在上面的计算和推导过程中并没有用到，这显然是不正确、至少是不完善的。 所以我想还需要对这些限定条件推敲一下、它为什么会给出？要在那些推导细节处予以考虑？

题：求极限 解： 1、题目中给出的计算式中含有两个算术级数表达式，但是因为形式上并不是计算通式，所以无法进行后续的推导，所以首先要先写成求和通式形式： 2、经过进一步的化简可以得到更简约的极限计算式： 3、至此会发现得到的极限计算是一个 形式，无法得到确切的结果。既然当前是 ，那么就设法令其计算因子的位置从分子调整到分母（或从分母调整到分子）上，看一看是否能有改善： 根号内计算式分子、分母同时乘以 4、至此发现调整之后依然是 的形式，并没有得到任何改善，因而上述思路并不顺利。重新观察上述推算，发现在第二步中，有毕达哥拉斯的味道，因而考虑分子、分母同时乘以一个共轭形式： 即： 5、再对分子、分母约分，即可得到 的极限形式，这个形式是有利于完成极限运算的： 至此，计算完成。 额外的，对于这个问题的图形，用sagemath绘制 进行观察，可以发现它的收敛非常快，当 时基本就已经逼近到收敛点附近了。

题：求极限 心路历程： 1、这道题目乍看上去，直观的感觉结果是无穷大，但实际上计算得出的结果却是确定的、而并不是无穷大。至于为什么会有这种直觉与事实的偏差，要好好反思、总结一下； 2、题目中的极限是趋于“负无穷”的，这在实际计算、推导的时候需要注意。 解： 原式 = = = = = = 此时注意到 的取值是在负数、负无穷时刻的，因而有 继续推导 = = = = = = 这道题我之所以会觉得有些“不可思议”，是因为按照原式来看，其中只是两个多项式相加，并没有分数、即没有比值的概念，而结果的-50显然是一个“比值、比率”，因而可以断定原始的表达式含有着一个分数形式。虽然推导计算的时候的确构造出了这个分数，但是直观的想，却很难从原式中看出这个“分数”来。这是为什么呢？ 实际带入了一些数据发现，我对“极限”的理解是存在误区的：极限并不一定是“比值”，上面结论的-50就不是比值，而是差值：是原始的计算式中两个计算项的差异比较： 虽然看上去是一个“加法”运算，但是因为 是在负数轴上移动，因而实际上是两个计算式的减法运算。换言之，上面的全部计算可以变换成如下的结论： ，也就是 和…

题：求 心路历程： 这道题目的分子和分母在自变量趋于零时，同时趋于无穷小，因而无法利用运算法则直接完成推导与计算。考虑将分子或分母中的自变量约去，只保留分母或分子中的自变量。 然而直接进行约分并不可行，原因是分子中含有无理项，因而先尝试对分子进行有理化，看是否能够顺利将分子中的因数提取出来、从而与分母中形成公因数、完成约分操作，再进而观察后续计算是否能够得到简化。 解1： 1、首先对分子进行有里化： = = = = 2、经过一次分子有理化之后并没能得到公因数，但是显然的，分子只要再进行一次有理化就可以将分子中的根号消除了，所以不妨再继续进行分子有理化、以观察是否能够将问题简化： = = = 3、经过两次分子有理化之后，顺利的将分子中的根号消除，并且已经见到分子和分母存在着公因子，进行约分简化： = 4、此刻可以发现计算式已经不再是 类型，因而可以尝试进行极限运算： = = = = = = 至此，完成极限计算。 解2：使用洛必达法则 基于计算式推导进行极限的计算是比较劳累的事情，因为计算过程比较多、容易出错。相对简单的则是直接使用洛必达法则，也就是对分子和分母同时求导——分子、分母在逼近极限时，各自的收敛速度之比，与他们在逼近极限时，各自的速率变化之比，是相同的。…

题：求 心路历程： 1、这道题并不是很好看出来究竟是不是 类型的极限，从直觉上总觉得分子并不会向着无穷位置行进。但是如果对分式进行展开，就能够比较容易的看出来这是 类型的了： 2、其实无所谓它是否是 类型，想对这道题进行计算，常规的路数都是一样的：设法将分子或分母中的根号消除掉，更为常规的，我依然考虑是将分子中的根号消除掉； 3、额外的，注意到题目中含有一个 因子项，这更令人联想到了 这种常见的极限形式，因而解题思路也是尽可能构造出这个形式的因子； 4、结合上面的思路，先尝试分子、分母同时乘以 以便构造出 因子尝试一下： 试解： 将原式 分子、分母同时乘以相同的 = = 如上的构造并没有使计算式有所简化，依然是 类型，根号没有被有效的消除、甚至引入了更多的根号变得更加复杂了。经过答案提示，正确的思路是分子、分母同时乘以相同的 ，于是按照提示再次尝试求解。 解： 将原式 分子、分母同时乘以相同的 = = 结合…

题：求 解1，利用性质直接完成计算： 由题目可以得到 可以看出第一部分是无穷小、第二部分是有界函数，所以结果依然是无穷小，从而完成计算。 解2，利用运算完成计算： 由题目可以得到 可以看出拆分出来的两部分，各自都是无穷小，因而乘积依旧是无穷小，完成计算。 解3，利用夹逼法则完成计算： 已知 所以 由于 且 ，由夹逼法则可以确定其中间部分 解4，更简单的一个方法： 类似于解2，但更简单的：由题目可以得到 此时无需考虑后面的部分，第一部分极限已经为无穷小，它乘以任何数都将是无穷小，因而不用看后面第二部分的计算结果，已经可以确定最终结果将是无穷小。