题：设 \(x_1 = 10\)，\(x_{n+1} = \sqrt{6+x_n} (n=1,2,\cdots)\)，证明数列 \(\{x_n\}\) 有极限，并求此极限。

心路历程：

这道题不妨先“本末倒置”的思考：首先假设数列有极限，能否直接计算出极限来呢？显然如果数列有极限，那么这个极限将是非常容易计算出来的：

设：\(\lim_{n\to\infty}x_n=L\)

那么显然 \(\lim_{n\to\infty}x_n=L\)，同时 \(\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=L\)

于是可以得到 \(L=\sqrt{6+L}\)，只要求解就可以得到 \(L=3\) 和 \(L=-2\)，只要再稍作推敲既可以舍弃其中一个根，最终得到极限是 \(L=3\)

然而事实上，如上的“心路历程”是建立在“数列有极限”的前提假设基础上的。如果数列本身就没有极限，那么上述一切论断，都不能成立。所以这道题实际上就是在问数列是否存在明确的极限。

要想确凿数列存在明确的极限，就是要确定数列的单调性和有界性。如果数列单调、有界，那么就意味着数列存在极限。所以这道题的解答思路分成三步：1、证明数列单调；2、证明数列有界；3、确定单调有界之后可生成数列存在极限 \(L\)，然后构建方程式求解极限值。

解答：

第一步、证明数列单调：

使用数学归纳法完成这一步的论证，数学归纳法又是分成3步：1、起点成立；2、假设任意 \(n=k\) 步成立；3、证明 \(n=k+1\) 步成立。

1、起点成立：

因为 \(x_2=\sqrt{6+x_1} = \sqrt{6+10} = 4\)，可见 \(x_1=10, x_2=4\)，至此如果说数列是递减数列，显然起点成立；

2、假设成立：

设 \(n=k\) 时的 \(x_k > x_{k+1}\) 成立；

3、根据假设，证明 \(n=k+1\) 时声明断言也成立：

因为在 \(n=k+1\) 时有 \(x_{k+1} = \sqrt{6+x_k}\)，此时根据假设 \(x_{k} > x_{k+1}\)，能够推出 \( 6+ x_{k} > 6+ x_{k+1}\)，也就是 \( \sqrt{6+ x_{k}} > \sqrt{6+ x_{k+1}}\)

所以有 \(n=k+1\) 时的 \(\left[ x_{k+1} = \sqrt{6+x_k} \right] > \left[ \sqrt{6+x_{k+1}} = x_{k+2} \right]\)，可以得到\( x_{k+1} > x_{k+2}\)，从而基于 \(n=k\) 的假设证明了 \(n=k+1\) 成立。

通过以上数学归纳法，得出结论：数列是单调递减的。

第二步、证明数列在单调递减的前提下，存在着下届：

既然已经知道数列 \(x_n = \{ 10, 4, \cdots \} \)，那么它有没有明确的下届呢？现在感觉既然含有根号，那么无论怎么开根号，都始终是正数、不会出现负数的情况。所以大胆假设0是它的下届。依然使用数学归纳法进行论证：

1、起点成立：

显然 \(x_1=10 > 0\)，起点十分显然的是成立的。

2、假设成立：

设 \(n=k\) 时的 \(x_k > 0\) 成立

3、根据假设，证明 \(n=k+1\) 时的 \(x_{k+1} > 0\) 成立：

因为根据假设 \(x_k>0\)，所以 \(6+x_k > 6 > 0\)，也就是 \(\sqrt{6+x_k} > \sqrt{6} > 0\)。而 \(x_{k+1} = \sqrt{6+x_k}\)，所以 \(x_{k+1}>0\) 成立。

即：基于 \(n=k\) 时 \(x_k>0\) 成立的假设，在 \(n=k+1\) 时 \(x_{k+1}>0\) 可被证明也是成立的。从而依数学归纳法：起点成立、基于假设的归纳步骤也被证明成立，从而证明了数列必然不会小于零。

虽然不确定下界的边界点，但只是可以很有底气的声称它不会跨过零点，从而证明了数列存在着下届。

第三步、求极限：

通过以上两步确定了数列的单调性是递减的、有界性是有界的，因而数列是单调递减有界数列，因而数列必然存在极限。将“心路历程”部分全部搬移到这里，就可以计算出数列的极限 \(L=3\) 或 \(L=-2\)

由因为在有界性论证部分得出了一个下届结论：数列永远不会跨过零点，所以极限可能解中的 \(L=-2\) 不符合此条件、被抛弃。最终得到数列极限 \(L=3\)。至此也同时将下届从 \(0\) 重新修正成了更准确的边界值 \(3\) 。

Q.E.D.