题：

设 \( a>0, x_1>0, x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right) (n=1,2,\cdots)\)

（1）求证：数列 \({x_n}\) 单调减少且有下界

（2）求 \(\lim_{n \to \infty} x_n\)

预备知识：

这道题中隐含着一个预备知识：算数-几何平均不等式（Arithmetic-Geometric Mean Inequality），简称AM-GM不等式。这个不等式的通式，是对于非负实数 \(a_1, a_2, \cdots , a_n\)，有着AM-GM关系：

AM-GM不等式：\(\frac{a_1+a_2+ \cdots +a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n}\)

题目中用到的是AM-GM不等式是当 \(n=2\) 时的特例：\(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)

对于AM-GM的通式推导我还没有掌握，但是对于如上的特例推导并不难，可以利用毕达哥拉斯公式完成证明。无论如何，这个AM-GM的预备知识暂时认为是已经掌握了的，由此基础，进行题目的解答。

解：

第一步：首先确定数列是有界、有下届的：

因为：\(a>0, x_1>0\)，所以通过计算得出\(x_2 > 0\)，但并不能因此就说\(x_n>0\)。因而这里要使用数学归纳法进行证明：

1、当 \(n=1\) 时，显然 \(x_1 > 0\)成立；

2、假设 \(x_n>0\)，证明 \(x_{n+1}>0\)：\(x_{n+1} = \frac{1}{2}(正数A+正数B) > 0\) 显然成立，得到证明；

3、由数学归纳法可知 \(x_n>0\) 成立。

通过数学归纳法完成 \(x_n >0\) 的证明之后，且因 \(a>0\)，所以 \(\frac{a}{x_n} > 0\)

因为 \(x_n>0 , \frac{a}{x_n} > 0\)，所以利用AM-GM不等式可得：\(x_n+\frac{a}{x_n} \ge 2\sqrt{x_n \cdot \frac{a}{x_n}}\)

基于以上AM-GM结论，结合题目，有 \(x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right) \ge 2 \sqrt{x_n \cdot \frac{a}{x_n}} = \sqrt{a}\)

即：\(x_{n+1} \ge \sqrt{a}\)，因为 \(a\) 是题设正常数，因而 \(x_{n+1}\) 无论 \(n\) 的取值如何，其结果恒大于 \(\sqrt{a}\)，因而数列存在下届。

第二步：论证数列单调递减：

通过对数列中任意两个临近项进行后项减前项，例如使用 \(x_{n+1} – x_n\)，可以得到：\(x_{n+1} – x_n = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right) – x_n = \frac{a}{2x_n} – \frac{x_n}{2} = \frac{a}{2x_n} – \frac{x_n^2}{2x_n} = \frac{a-x_n^2}{2x_n}\)

因为 \(x_n \ge \sqrt{a}\)，所以 \(x_n^2 \ge a\) （注：这一步似乎不严谨，上面的下届论证虽然认为 \(\sqrt{a}\) 是下届，但并不能因此就认定“至少大于”、只能认为为是“至多大于”，怎么就能因为“至多大于”而得到当前的结论了呢？）

暂且先这样认为、继续往后推导，因为 \(x_n^2 \ge a\)，所以 \(a-x_n^2 \le 0\)

因为 \(a-x_n^2 \le 0\) 且 \(x_n > 0\)，所以\(\frac{a-x_n^2}{2x_n} \le 0\)

也就是说：\(x_{n+1} – x_n \le 0\)，由此看出数列中任意临项中的后项都比前项小（前提是 \( n \ge 2\) 时）。因而得出结论：数列是单调递减的。

第三步：求 \(\lim_{n \to \infty} x_n\)：

通过上面的两步，得出了数列的结论：这个数列是有下届、且单调递减的，因而数列具有极限。

因为数列具有极限，所以可以对数列通式中的 \(x_n\) 和 \(x_{n+1}\) 同时取极限，认为 \(\lim_{n \to \infty} x_n = A, \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = A\)

将临时设定的极限 \(A\) 带入数列定义通式得到 \( A = \frac{1}{2} \left(A+\frac{a}{A}\right)\)，求解此方程，可以得到 \(a=A^2\)

从而得到极限 \(A\) 可能的算式数值分别是 \(A=\sqrt{a}\) 和 \(A=-\sqrt{a}\)

又因为数列本身单调递减、有下届，其下届是 \(\sqrt{a}\)，即下届必然大于零，所以上面得到的极限中负数可能被舍弃，最终得到数列的极限 \(\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt{a}\)，计算完成。

额外的困惑：

这道题目中我的困惑比较多，主要困惑已经在上面求解过程中备注出来了：

1、下届找到的 \(\sqrt{a}\) 只是一个“至多下届”，并非“下届阈值点”，应该如何论证确凿 \(\sqrt{a}\) 恰是下届阈值点呢？

2、同样的道理，因为并没有对 \(\sqrt{a}\) 是下届边界（阈值点）进行论证，因而后面也就不能轻易的认为 \(a-x_n^2 \le 0\)；

3、此外，还有就是求解过程中提到了一句“前提是 \(n \ge 2\)”也十分突兀，并没有对其进行详细的讨论。

总之，这道题目我的解答并不完善，待到日后闲暇时再进一步完善吧。