题：求 \(\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2+n+1} + \frac{2}{n^2+n+2} + \cdots + \frac{n}{n^2+n+n} \right)\)
心路历程：
首先最直观的，这道题中明显含有一些“算术级数的味道”，虽然因为分母的影响并不能直接形成求和级数，但仍然不影响给人的直观感受：\(1+2+3+ \cdots +n\)。
而这个求和级数的显式表达式是 \(\frac{(1+n)n}{2} = \frac{1}{2} (n^2+n)\) 又恰与原题目中的各个独立计算项的分母同元同幂，所以便有了一个构造夹逼边界的思路。
解：
若将原题目中的各个独立计算项的分母全部调整成 \(n^2+n+n\)，则几乎所有计算项的分母都被放大了（只有最后一个表达式的分母没有被放大）；反之、若将所有分母都更改成 \(n^2+n+1\)，则几乎所有的分母都被缩小了（仅第一项分母没有被缩小）。
因为分母被放大，意味着整个分式变小了；反之，分母如果被缩小，意味着整个分式被放大了，因而可以得出不等式：
有：\( \frac{1}{n^2+n+n} + \cdots + \frac{n}{n^2+n+n} < \frac{1}{n^2+n+1} + \cdots + \frac{n}{n^2+n+n} < \frac{1}{n^2+n+1} + \cdots + \frac{n}{n^2+n+1}\)
经过上述的边界膨胀，得到的左边界和右边界，虽然还看不出对解题有利的结论，但至少得到的两个边界是可以各自完成合并计算的，合并之后的分子拥有显式表达、且显式表达与分母同元同幂，至此不妨按照这个感觉继续往后推导：
左侧：\(\frac{1}{n^2+n+n} + \cdots + \frac{n}{n^2+n+n} = \frac{(1+n)n}{2(n^2+n+n)} = \frac{n^2+n}{2(n^2+n+n)}\)
右侧：\(\frac{1}{n^2+n+1} + \cdots + \frac{n}{n^2+n+1} = \frac{(1+n)n}{2(n^2+n+1)} = \frac{n^2+n}{2(n^2+n+1)}\)
对如上得到的两个表达式分别计算 \(n\to \infty\) 时的极限，容易得到其极限结果均为 \(\frac{1}{2}\)：
左侧：\(\lim_{n\to\infty} \frac{n^2+n}{2(n^2+n+n)} = \lim_{n\to\infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n})} = \frac{1+\delta}{2(1+\delta+\delta)} = \frac{1}{2}\)
左侧：\(\lim_{n\to\infty} \frac{n^2+n}{2(n^2+n+1)} = \lim_{n\to\infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})} = \frac{1+\delta}{2(1+\delta+\delta^2)} = \frac{1}{2}\)
至此可依夹逼准则确定原题目问题的极限亦为 \(\frac{1}{2}\)，计算完成。
