题：利用夹逼准则证明 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{[x]} =1\)，其中 \([x]\) 表示取 \(x\) 的整数部分。
解：
既然题目中已经明确要求使用夹逼准则进行证明，思路就比较明确了：只需要找到下届表达式和上届表达式，然后分别求其极限，通过夹逼相等、验证中间表达式的极限。
对于数轴在正数区域中的 \(x\) 而言，一定有不等式关系：\( [x]-1 < [x] < [x]+1 \)
对上面的不等式关系进行调整，将左式、右式中的中括号去掉，以便后面的计算。左式去掉中括号相当于是左式引入了一个小于1的波动，不会对左边的不等号产生影响；右式去掉中括号也相当于引入了一个小于1的波动，同样不会对右边的不等号产生影响，
因而整理后的不等式是：\( x-1 < [x] < x+1 \)
又因为讨论的 \(x\) 是在数轴的正数区间上，因而对于上式三个部分都是正数，将他们取倒数之后不等号方向会发生变化，于是得到：\( \frac{1}{x-1} > \frac{1}{[x]} > \frac{1}{x+1} \)
还是因为讨论的 \(x\) 是在数轴的正数区间上，所以对上面的不等式三部分，各自乘以一个 \(x\)，不等式关系不会发生改变：\( \frac{x}{x-1} > \frac{x}{[x]} > \frac{x}{x+1} \)
至此，不等式的中间项已经与原题目相同，而它的两边得到的两个计算式就可以认为是夹逼准则的下届计算式和上届计算式，此时只要分别对左右两个计算式进行极限计算，即可得出对证明有利的结论：
左式极限：\(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1-\frac{1}{x}} = \frac{1}{1-\delta} = 1\)
右式极限：\(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x}} = \frac{1}{1+\delta} = 1\)
从而看出下届极限与上届极限相同，因而中间式极限可被确定：\(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{[x]} = 1\)，从而完成证明。
