题：求 \(\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+sinx}}\)
心路历程：
1、这道题并不是很好看出来究竟是不是 \(\frac{\infty}{\infty}\) 类型的极限，从直觉上总觉得分子并不会向着无穷位置行进。但是如果对分式进行展开，就能够比较容易的看出来这是 \(\frac{\infty}{\infty}\) 类型的了：\(\frac{\sqrt{4x^2+x-1}}{\sqrt{x^2+sinx}} + \frac{x}{\sqrt{x^2+sinx}} + \frac{1}{\sqrt{x^2+sinx}}\)
2、其实无所谓它是否是 \(\frac{\infty}{\infty}\) 类型，想对这道题进行计算，常规的路数都是一样的：设法将分子或分母中的根号消除掉，更为常规的，我依然考虑是将分子中的根号消除掉；
3、额外的，注意到题目中含有一个 \(sinx\) 因子项，这更令人联想到了 \(\frac{sinx}{x}\) 这种常见的极限形式，因而解题思路也是尽可能构造出这个形式的因子；
4、结合上面的思路，先尝试分子、分母同时乘以 \(\sqrt{\frac{1}{x}}\) 以便构造出 \(\frac{sinx}{x}\) 因子尝试一下：
试解：
将原式 \(\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+sinx}}\) 分子、分母同时乘以相同的 \(\sqrt{\frac{1}{x}}\)
= \(\lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{4x^2+x-1}+x+1)(\sqrt{\frac{1}{x}})}{\sqrt{x^2+sinx}(\sqrt{\frac{1}{x}})}\) = \(\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x+1-\frac{1}{x}}+x\sqrt{\frac{1}{x}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}{\sqrt{x+\frac{sinx}{x}}}\)
如上的构造并没有使计算式有所简化，依然是 \(\frac{\infty}{\infty}\) 类型，根号没有被有效的消除、甚至引入了更多的根号变得更加复杂了。经过答案提示，正确的思路是分子、分母同时乘以相同的 \(\sqrt{\frac{1}{x^2}}\)，于是按照提示再次尝试求解。
解：
将原式 \(\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+sinx}}\) 分子、分母同时乘以相同的 \(\sqrt{\frac{1}{x^2}}\)
= \(\lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{4x^2+x-1}+x+1)(\sqrt{\frac{1}{x^2}})}{\sqrt{x^2+sinx}(\sqrt{\frac{1}{x^2}})}\) = \(\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}+x\sqrt{\frac{1}{x^2}}+\sqrt{\frac{1}{x^2}}}{\sqrt{1+\frac{sinx}{x^2}}}\)
结合 \(x\) 在负数轴上的事实，可以知道 \(\sqrt{\frac{1}{x^2}} = -\frac{1}{x}\)，因而可对上式进行进一步的化简：
= \(\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}-1-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{sinx}{x} \cdot \frac{1}{x}}}\)
至此，虽然计算式中的根号依然没有去掉，但是已经不再是 \(\frac{\infty}{\infty}\) 类型，而是可以进行计算的了：
= \(\frac{\sqrt{4 -\delta -\delta}-1 + \delta }{\sqrt{1+\frac{sinx}{x} \cdot \delta }}\) = \(\frac{\sqrt{4}-1 }{\sqrt{1 + 1 \times \delta}}\) = 1
至此，完成计算。
