题：求 \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{ \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} -2}{x^2} \right)\)

心路历程：

这道题目的分子和分母在自变量趋于零时，同时趋于无穷小，因而无法利用运算法则直接完成推导与计算。考虑将分子或分母中的自变量约去，只保留分母或分子中的自变量。

然而直接进行约分并不可行，原因是分子中含有无理项，因而先尝试对分子进行有理化，看是否能够顺利将分子中的因数提取出来、从而与分母中形成公因数、完成约分操作，再进而观察后续计算是否能够得到简化。

解1：

1、首先对分子进行有里化：\(\lim_{x \to 0} \left( \frac{ \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} -2}{x^2} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{ (\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} -2)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} +2) }{(x^2)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} +2)} \right)\)

= \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{ (\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})^2 -2^2}{(x^2)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} +2)} \right)\)

= \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{ (1+x) + 2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x} + (1-x) -4 }{(x^2)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} +2)} \right)\)

= \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{ 2\sqrt{(1+x)(1-x)} – 2}{(x^2)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} +2)} \right)\)

= \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{ 2 \left( \sqrt{1-x^2} – 1 \right) }{(x^2)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} +2)} \right)\)

2、经过一次分子有理化之后并没能得到公因数，但是显然的，分子只要再进行一次有理化就可以将分子中的根号消除了，所以不妨再继续进行分子有理化、以观察是否能够将问题简化：

= \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{ 2 \left( \sqrt{1-x^2} – 1 \right) \left( \sqrt{1-x^2} + 1 \right) }{(x^2)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} +2) \left( \sqrt{1-x^2} + 1 \right) } \right)\)

= \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{ 2 (1-x^2 -1) }{(x^2)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} +2) \left( \sqrt{1-x^2} + 1 \right) } \right)\)

= \(\lim_{x \to 0} \left( \frac{ -2 x^2 }{(x^2)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} +2) \left( \sqrt{1-x^2} + 1 \right) } \right)\)

3、经过两次分子有理化之后，顺利的将分子中的根号消除，并且已经见到分子和分母存在着公因子，进行约分简化：

= \(\lim_{x \to 0} \frac{ -2 }{(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} +2) \left( \sqrt{1-x^2} + 1 \right) } \)

4、此刻可以发现计算式已经不再是 \(\frac{0}{0}\) 类型，因而可以尝试进行极限运算：

= \(\lim_{x \to 0} \frac{ -2 }{(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} +2) \left( \sqrt{1-x^2} + 1 \right) } \)

= \(\frac{ -2 }{(\sqrt{1+\delta} + \sqrt{1-\delta} +2) \left( \sqrt{1-\delta^2} + 1 \right) } \) = \(\frac{ -2 }{(\sqrt{1+\delta} + \sqrt{1-\delta} +2) \left( \sqrt{1-\delta} + 1 \right) } \) = \(\frac{ -2 }{(\sqrt{1} + \sqrt{1} +2) \left( \sqrt{1} + 1 \right) } \) = \(\frac{ -2 }{(1 + 1 +2) \left( 1 + 1 \right) } \) = \(\frac{ -2 }{4 \times 2 } = -\frac{1}{4}\)

至此，完成极限计算。

解2：使用洛必达法则

基于计算式推导进行极限的计算是比较劳累的事情，因为计算过程比较多、容易出错。相对简单的则是直接使用洛必达法则，也就是对分子和分母同时求导——分子、分母在逼近极限时，各自的收敛速度之比，与他们在逼近极限时，各自的速率变化之比，是相同的。

因而这道题，理论上可以应用洛必达法则进行求解。

然而不幸的是，通过洛必达法则的思路尝试，会发现分子、分母分别求导时，分子的根号是无法被消除的，因而洛必达求解法，并不适合这道题。

解3：使用泰勒展开求解

利用泰勒展开式求解是可行的，具体过程如下：对于分子中的各个多项式，分别考虑他们的泰勒展开形式：

\(\sqrt{1+x} \approx 1+\frac{x}{2} – \frac{x^2}{8}\) 和 \(\sqrt{1-x} \approx 1-\frac{x}{2} – \frac{x^2}{8}\)

因而分子：\( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} -2 \approx \left( 1+ \frac{x}{2}-\frac{x^2}{8} \right) + \left( 1-\frac{x}{2} – \frac{x^2}{8}\right) -2 = -\frac{x^2}{4}\)

只需如上一步即可将分子通过泰勒展开去掉根号、与分母形成公因数、完成约分，进而得到最终的结果。