题：求极限 \(\lim_{x \to -\infty} x(\sqrt{x^2+100}+x)\)
心路历程：
1、这道题目乍看上去，直观的感觉结果是无穷大，但实际上计算得出的结果却是确定的、而并不是无穷大。至于为什么会有这种直觉与事实的偏差，要好好反思、总结一下；
2、题目中的极限是趋于“负无穷”的，这在实际计算、推导的时候需要注意。
解：
原式 \(\lim_{x \to -\infty} x(\sqrt{x^2+100}+x)\)
= \(\lim_{x \to -\infty} x\sqrt{x^2+100}+x^2\)
= \(\lim_{x \to -\infty} \frac{(x\sqrt{x^2+100}+x^2)(x\sqrt{x^2+100}-x^2)}{x\sqrt{x^2+100}-x^2}\)
= \(\lim_{x \to -\infty} \frac{100 x^2}{x\sqrt{x^2+100}-x^2}\)
= \(\lim_{x \to -\infty} \frac{100 x}{\sqrt{x^2+100}-x}\)
= \(\lim_{x \to -\infty} \frac{100 x \cdot \frac{1}{x}}{\sqrt{x^2+100}\cdot \frac{1}{x}-x\cdot \frac{1}{x}}\)
= \(\lim_{x \to -\infty} \frac{100}{\sqrt{x^2+100}\cdot \frac{1}{x}-1}\)
此时注意到 \(x\) 的取值是在负数、负无穷时刻的，因而有 \(\frac{1}{x} = -\sqrt{ \frac{1}{x^2}}\)
继续推导 = \(\lim_{x \to -\infty} \frac{100}{\sqrt{x^2+100}\cdot \left(-\sqrt{ \frac{1}{x^2}} \right)-1}\)
= \(\lim_{x \to -\infty} \frac{100}{- \sqrt{1+\frac{100}{x^2}}-1}\) = \(\frac{100}{- \sqrt{1+\delta}-1}\) = \(\frac{100}{-1-1}\) = \(\frac{100}{-2}\) = \(-50\)
这道题我之所以会觉得有些“不可思议”，是因为按照原式来看，其中只是两个多项式相加，并没有分数、即没有比值的概念，而结果的-50显然是一个“比值、比率”，因而可以断定原始的表达式含有着一个分数形式。虽然推导计算的时候的确构造出了这个分数，但是直观的想，却很难从原式中看出这个“分数”来。这是为什么呢？
实际带入了一些数据发现，我对“极限”的理解是存在误区的：极限并不一定是“比值”，上面结论的-50就不是比值，而是差值：是原始的计算式中两个计算项的差异比较：
虽然看上去是一个“加法”运算，但是因为 \(x\) 是在负数轴上移动，因而实际上是两个计算式的减法运算。换言之，上面的全部计算可以变换成如下的结论：
\(\lim_{x \to -\infty} -\left( \sqrt{x^4+100x^2} – \sqrt{x^4} \right) = -50\)，也就是 \(\sqrt{x^4+100x^2}\) 和 \(\sqrt{x^4}\) 的比较。
但是我还是有些理解不了这个事情，先将数据结论列在这里，等到睡眠充足之后，再慢慢思考这个问题吧。我理解不了的，主要就是C列中的开方符号内那段“多余项”，既然是也在无限增大的，它怎么可能在开方之后就会逐渐的逼近与50这个数字呢？
