题：证明 \(\lim_{x \to + \infty} x sinx\) 不存在
心路历程：
这道题目并不难得出结论，而且结论是十分显而易见的：因为含有周期函数在表达式中、而且周期函数本身是存在过零点的，因而计算结果也会是一个周期函数，虽然结果的摆幅不固定、但是结果的周期性是一定的、而且也是随着表达式中的过零点同频过零的，因而显然这个数列的极限并不固定、因而极限也就不存在。
但是这道题的困难在于：要将上面的想法转换成数学语言进行描述。
可以考虑从原有的自变量数列 \(x \to + \infty\) 中抽取出两个“子数列”，令这两个子数列恰恰分别是摆动极值和过零值，这样两个子数列各自由自己的“极限”、”恒等零“、”发散“等各自的表现，而两个子数列各自的”极限结果“并不统一，从而证明出原数列没有极限。
证明过程：
根据极限的定义，当 \(x \to +\infty\) 时，若极限值存在，则所有从 \(x \to +\infty\) 中抽取的子数列的极限值应相等。若存在子数列极限值不同，则原函数极限不存在。考虑到原始表达式中含有正弦因子，因而构造其特定的相位所形成的数列：
从 \(x \to + \infty\) 这个数轴数列中，抽取出两个子数列，分别是：
数列1：\(a_n = 2n\pi, (n \in \mathbb{N})\)，当 \(n\to +\infty\)时，\(a_n \to +\infty\)
数列2：\(b_n = 2n\pi + \frac{\pi}{2}, (n \in \mathbb{N})\)，当 \(n\to +\infty\)时，\(b_n \to +\infty\)
上述数列1和数列2，都是从原数轴上取得到的点，并且两个子数列并无交叉、重复取样，因而两个子数列可分别用于完成数列极限的推演。
之所以取上面的两个子数列，主要考虑的是正弦波形上这些特征点的结果可以是恒为0、或恒为1的，有助于更快的得到结果。也可以使用其他相位角构造数列，但是上述2个数列会令后面的计算与分析，更加简单。
设：\(f(x)=x sinx\)，则可以将数列极限转换成等价的函数极限：\(\lim_{x \to +\infty} f(x)\)
对于\(a_n\)有：\(\lim_{a_n \to +\infty} f(a_n) = \lim_{n \to +\infty} (2n\pi \times sin(2n\pi)) = 0\)
对于\(b_n\)有：\(\lim_{b_n \to +\infty} f(b_n) = \lim_{n \to +\infty} ((2n\pi+\frac{\pi}{2}) \times sin(2n\pi+\frac{\pi}{2})) = +\infty\)
整理上面的分析，最终得到：\(\lim_{n \to + \infty}f(a_n)=0, \lim_{n \to + \infty}f(b_n)=+\infty\)
由于函数在上述两个不同的极限目标时得到的结果不相同，因而原始数列的极限收敛也不是唯一的，因而原始数列极限不存在，完成证明。
