题：利用极限定义证明 \(\lim_{x \to 2} (5x+2) = 12\)
证明：
和前面若干道关于“数列的极限证明”有显著区别的是：1、这个极限是趋于定值，因而要使用 \(\varepsilon – \delta\) 语言完成证明；2、这是一个函数极限证明、而不是数列极限证明。
1、对于 \(\forall \varepsilon > 0\)，需总能找到 \(\exists \delta >0\)，使得当 \( |变量 – 极限目标| < \delta\) 时，满足 \( |表达式-结果目标| < \varepsilon\)
2、对于 \(\forall \varepsilon > 0\)，需总能找到 \(\exists \delta >0\)，使得当 \( |x – 2| < \delta\) 时，满足 \( |(5x+2)-12| < \varepsilon\)
3、想直接找到 \(\delta\) 并不容易，不妨先指定 \(\varepsilon > 0\) 且存在不等式关系 \(| (5x+2) – 12 | < \varepsilon\)
4、对上面的不等式进行化简：\(| (5x+2) – 12 | = |5x-10| = 5\times |x-2| < \varepsilon\)，最终得到不等式关系：\( |x-2| < \frac{\varepsilon}{5}\)
5、注意到第4步的结果中恰恰含有 \( |x-2| \) 这个自变量趋于极限距离表达，此时只要设 \(\delta = \frac{\varepsilon}{5}\)，就可以找到 \(\delta\)
6、当 \(|x-2| < \frac{\varepsilon}{5}\)，也就是 \(|x-2|<\delta\) 时，利用第4步的逆推，可以看出 \(|(5x+2)-12|<\varepsilon\) 是成立的，因而可以确定对于 \(\forall \varepsilon\) 都能找到明确的 \(\exists \delta\) 可被找到并设定
7、至此，依据极限的定义，任由 \(\forall \varepsilon>0 \) 被给出，总有 \( \exists \delta >0\) 可被设定、并满足距离约束关系，因而完成此函数极限的证明。
