题：设 \(a_n = (1+\frac{1}{n}) sin \frac{n\pi}{2}\)，证明数列 \(\{a_n\}\) 发散
心路历程：
1、对于一个数列，如果是收敛的，那么如果将这个数列按照一定的间隔抽取出各个数项、构成的“子数列”也是收敛、且各个子数列具有相同的收敛目标的；
2、反之，如果各个子数列中有任意一个子数列不收敛、或收敛目标与其它子数列具有不同的收敛值，那么原始数列就不是收敛的；
3、观察题目中的计算式，明显有一个正弦因子，随着数列的增长，这个正弦因子明显存在着周期性，因而可以从这个特点着手，尝试解决问题。
证明：
将原始数列分拆成四个子数列，如下：
第一象限数列：\(t^1_n = (1+\frac{1}{n}) sin \frac{n\pi}{2} , n=1,5,9,13\cdots\)
第二象限数列：\(t^2_n = (1+\frac{1}{n}) sin \frac{n\pi}{2}, n=2,6,10,14\cdots\)
第三象限数列：\(t^3_n = (1+\frac{1}{n}) sin \frac{n\pi}{2}, n=3,7,11,15\cdots\)
第四象限数列：\(t^4_n = (1+\frac{1}{n}) sin \frac{n\pi}{2}, n=4,8,12,16\cdots\)
以上分割出来的四组子数列，全部收敛于相同值才能充分确保原数列收敛；有任意一个数列与原始数列不同收敛、或有任意两个子数列彼此不同时收敛，则均可以证明原始数列不收敛。因而只需使用第一象限数列和第四现象数列即可解决问题：
第一象限数列：\(t^1_n = (1+\frac{1}{n}) sin \frac{n\pi}{2} = (1+\frac{1}{n})sin(\frac{1}{2}\pi + 2k\pi) , n=1,5,9,13\cdots\)
第四象限数列：\(t^4_n = (1+\frac{1}{n}) sin \frac{n\pi}{2} = (1+\frac{1}{n})sin(2k\pi), n=4,8,12,16\cdots\)
以上两个子数列，各自的正弦因子项，一个恒为1、另一个恒为0，因而可以分别进行简化，得到：
第一象限数列：\(t^1_n = (1+\frac{1}{n}) sin \frac{n\pi}{2} = (1+\frac{1}{n}) , n=1,5,9,13\cdots\)
第四象限数列：\(t^4_n = (1+\frac{1}{n}) sin \frac{n\pi}{2} = 0, n=4,8,12,16\cdots\)
这时只需再考虑第一象限数列的计算式是否与零相等，因为是“结论早在心中”，因而现在想的就是它一定不是零。稍微动笔计算一下：\(\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n}) = 1\)。
至此可见抽取出来的子数列已经呈现出了不同的收敛趋势，因而原数列不收敛。
当然还可以更大胆的幻想一下：虽然没有对四个子数列全部考察、也没有更详尽的推敲，但原数列大概应该不是发散的、只是没有明确的收敛点，而是在一个范围内反复横跳、不断震荡的。无论如何，已经证明原数列确定是不收敛的。
至此，依题目要求，证明完成。
