题：用 \(\varepsilon-N\) 方法证明 \(\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0\)
心路历程：
1、首先，这道题目要求使用 \(\varepsilon-M\) 语言及其思想，完成极限的证明。书上一直说的是 \(\varepsilon-N\) 语言，我似乎一直喜欢称这个语言为 \(\varepsilon-M\) 语言，但应该没有区别；
2、其次，题目中特意强调要使用 \(\varepsilon-M\) 语言完成证明，这大概是在“暗示”给出的极限应该还有其他的方法进行证明么？
解1：使用 \(\varepsilon-M\) 语言及思想完成证明
1、对于 \(\forall \varepsilon > 0\)，欲找到 \(\exists M\)，使得对于 \(n>M\)，可以令 \(|\frac{n!}{n^n} – 0| < \varepsilon\)
2、\(|\frac{n!}{n^n} – 0| = |\frac{n!}{n^n}|\)
3、注意到 \(\frac{n!}{n^n}\) 中分子与分母因子项数量相同，所以符号可以上下同时逐项抵消，所以绝对值符号可以去掉，即：\(|\frac{n!}{n^n}| = \frac{n!}{n^n}\)
4、\(\frac{n!}{n^n} = \frac{n}{n} \frac{n-1}{n} \frac{n-2}{n} \cdots \frac{3}{n} \frac{2}{n} \frac{1}{n} = (\frac{1}{n})(\frac{2}{n}\frac{3}{n} \cdots \frac{n-1}{n}\frac{n}{n})\)
5、注意到：\(\frac{2}{n}\frac{3}{n} \cdots \frac{n-1}{n}\frac{n}{n} < \frac{n}{n}\frac{n}{n} \cdots \frac{1}{n}\frac{n}{n}\)，即：\(\frac{2}{n}\frac{3}{n} \cdots \frac{n-1}{n}\frac{n}{n} < \frac{n^{n-1}}{n^{n-1}}\)
6、将5的发现、带入到4的表达式中：\(\frac{n!}{n^n} = (\frac{1}{n})(\frac{2}{n}\frac{3}{n} \cdots \frac{n-1}{n}\frac{n}{n}) < (\frac{1}{n}) (\frac{n}{n}\frac{n}{n} \cdots \frac{n}{n}\frac{n}{n}) = \frac{1}{n}\)
7、第6步实际上是找到了一个介于不等式之间的比较数，当M边界确定之后，中间数如果能够满足更小比较、那么比中间数还要苛刻的原始数就更能满足更小比较了；
8、所以通过基于第6步放大得到的“中间数”去确定 \(M\) 取值依据：\(\frac{n!}{n^n} < \frac{1}{n} < \varepsilon\)；
9、可通过不等式 \(\frac{1}{n} < \varepsilon\) 确定边界条件 \(n > \frac{1}{\varepsilon} = M\)
10、至此可以知道，对于 \(\forall \varepsilon >0\)，是可以有 \(M=\frac{1}{\varepsilon}\)，使得所有 \(n>M\) 时的 \((\frac{1}{n}) \cdot (\frac{n^{n-1}}{n^{n-1}}) < \varepsilon\) 的。而比 \((\frac{1}{n}) \cdot (\frac{n^{n-1}}{n^{n-1}})\) 更小的 \((\frac{1}{n}) \cdot (\frac{2}{n} \frac{3}{n} \cdots \frac{n-1}{n} \frac{n}{n})\)自然也是更更小的
11、结论：对于 \(\forall \varepsilon >0\)，令 \(M=\frac{1}{\varepsilon}\)，则大于 \(M\) 的所有 \(n\) 的计算式与极限点的距离，都会比给定 \(\varepsilon\) 还要更趋近、贴近
12、得证。
解2：使用三明治定理（夹逼定理）
如“心路历程”所想，这道题给出了非常明显的“暗示”，意味着它还有其他的证明方法。其他证明方法主要还可以通过：Stirling公式近似法、对数法则分析法等完成证明。更常见、更简单的，则是利用三明治定理完成证明，过程如下：
【未完待续】
