题：证明 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2-1} = 0\)
一、心路历程：
1、这道题因为是对 \(n \to \infty\) 求证极限，因而要使用的是 \(\varepsilon – M\) 语言，而不应使用 \(\varepsilon – \delta\) 语言进行求证；
2、使用 \(\varepsilon – M\) 语言进行极限证明的思路是：无论设定多么小的 \(\varepsilon\)，都能找到一个明确的 \(M\) 边界，使得所有 \(n > M\) 时的 \(n\)，都能令它的计算结果与目标点的接近程度比设定出来的 \(\varepsilon\) 还要短小、精进；
3、当如上的找寻可以成立时，意味着找寻总是能够成功，便可以声明 \(n \to \infty\) 时，计算结果可以无限趋近到目标点。
二、证明过程：
1、对于任意指定的大于零的 \(\varepsilon\)，是否能够确定可以有\(M\)，使得对于所有 \(n>M\) 时的 \(n\)，都能令 \(|distance| = |\frac{1}{n^2-1} – 0| < \varepsilon\)？
2、改用数学语言表述：\(\forall \varepsilon > 0, |\frac{1}{n^2-1}-0| < \varepsilon (\exists M, n>M)\)，此时 \(M\) 还没有找到，问题就是要确定 \(M\) 是否可以被找到；
3、因为 \(n > 1\) 时，\(\frac{1}{n^2-1} > 0\)
4、所以 \(n > 1\) 时，\(|\frac{1}{n^2-1}-0| = \frac{1}{n^2-1}\)
5、所以问题转化为：\(\forall \varepsilon > 0, \frac{1}{n^2-1} < \varepsilon (\exists M, n>M)\)，此时 \(M\) 还没有找到，问题就是要确定 \(M\) 是否可以被找到；
6、同样对于 \(n > 1\) 而言，必然有 \(n^2 > n\)，进而必然有 \(n^2-1 > n-1\)，再进而有 \(\frac{1}{n^2-1} < \frac{1}{n-1}\)
7、此时若有 \(\frac{1}{n-1}<\varepsilon\)，由不等式关系必然有 \(\frac{1}{n^2-1} < \varepsilon\)
8、至此，问题再次转化为：\(\forall \varepsilon > 0, \frac{1}{n^2-1} < \frac{1}{n-1} < \varepsilon (\exists M, n>M)\)，此时 \(M\) 还没有找到，问题就是要确定 \(M\) 是否可以被找到；
9、对于上不等式 \(\frac{1}{n-1} < \varepsilon\)，因为 \(n-1 > 0\) 且 \(\varepsilon > 0\)，所以不等式可以进行分子分母移项，得到 \(n>1+\frac{1}{\varepsilon}\)
10、至此可以得到 \(M\) 的边界定义，即若 \(M=1+\frac{1}{\varepsilon}\)，此时一切大于这个边界的 \(n\)，都可以确保 \(\frac{1}{n-1} < \varepsilon\)成立，进而使得 \(\frac{1}{n^2-1} < \varepsilon\) 亦成立
11、这就说明：无论设定多么微小的 \(\varepsilon\) 距离（只要是大于0的），都可以找到明确的、可实现的 \(M\) 阈值，使得对于所有大于这个 \(M\) 的 \(n\)，其计算结果点与极限点的距离，都可以比设定的预期距离还要短小，也就是计算结果点可以向着极限点无限逼近，极限存在。
三、困惑，这里我有两点困惑：
1、这种 \(\varepsilon-M\) 证明语言中，只提到了可以找到明确的 \(M\)，所以可以证明的是：\(\lim_{n>M} \frac{1}{n^2-1} = 0\) 成立，怎么就能说明 \(n>M\) 就等同于 \(n \to \infty\) 了呢？
2、上述所有的论证中，前提建立在 \(n>1\) 的基础上，但是书上给出来的解答中，说的是 \( n \ge 3\)，我觉得 \(n>1\) 就可以完成后续的证明，但书上为什么是 \(n \ge 3\) 呢？
自问自答1：这应该是我还欠缺一个证明步骤，没有完成随着 \(\varepsilon\) 的给定越来越小，\(M\) 界定会越来越大、逐渐趋于无穷；
自问自答2：书上给的n=3和我给出来的n=1都是为了让下届明确、不出现分母为零的情况。书上很可能是有意放大了下届，但在我看来即便是放大、放大到n=2也已经足够了，还是对这里有些许困惑，只待日后再慢慢推敲吧。
