题：设 \(y=f(x), x \in (-\infty, +\infty)\) 的图形关于 \(x=a, x=b\) 对称（\(a<b\)）。
求证：\(y=f(x)\) 是周期函数并求其周期。
求解：正道题目书上给出来的答案显然是存在缺陷的。如果仔细看书上的问题和答案，会发现它为了规避“缺陷”，在题目和答案上都留下了“小心思”。
题目中问的是“求其周期”，答案中给出来的是“这是一个周期”，都规避掉了“最小”这个说法。因为一旦说出来“最小”这个词，就要证明找到的周期T是最小的周期。但显然书上的答案中并没有提及“最小”，因而也就无需论证了。而它的答案之所以敢于忽视“最小”，恰恰是因为题目中也没有提及“最小”。
但是我觉得这样不好，所以还是对题目重新调整一下，调整之后：设 \(y=f(x), x \in (-\infty, +\infty)\) 的图形关于 \(x=a, x=b\) 对称（\(a<b\)）。求证：\(y=f(x)\) 是周期函数并求其最小周期。
如此的话，整个题目要想完成解答，需要分成4部分：1、先搞清楚什么是“对称性”；2、然后证实函数是周期函数；3、找出周期函数的周期T；4、对T进行进一步的分析，证实T的确是函数的最小周期。
按照如上的思路，解答过程如下：
第一步、对称性
如果函数 \(f(x)\) 关于 \(C\) 点对称，意味着函数满足：\(f(C+x)=f(C-x)\)。
此时重新设自变量为 \(t\)，且\(t=x+C\)，依然满足上述对称性关系式。即：\(f(C+t) = f(C-t) \Rightarrow f(C+(x+C)) = f(C-(x+C))\)。整理后得到 \(f(-x) = f(2C+x)\)。
这样整理出来的关系式不够直观、不好，重新做上一步：
此时重新设自变量为 \(t\)，且\(t=x-C\)，依然满足上述对称性关系式。即：\(f(C+t) = f(C-t) \Rightarrow f(C+(x-C)) = f(C-(x-C))\)。整理后得到 \(f(x) = f(2C-x)\)。
这样得到的函数的对称性可用于后面的推导，将原题目中的对称点带入，将函数对称性列出来备用：
关于\(a\)点对称：\(f(x) = f(2a-x)\)
关于\(b\)点对称：\(f(x) = f(2b-x)\)
第二步、证实函数是周期函数
书上是直接给出了周期假设：\(T=2(b-a)\)，我是完全没搞明白它凭什么就这么准确的假设出来。而且通过画图也可以发现，在某些图形表现下，也可以实现 \(T=b-a\) 为其周期性：
【图】
抛弃书上的方法，观察 \(f(x) = f(2a-x)\) 和 \(f(x) = f(2b-x)\)。尝试使用①式构建 \(f(2a-y) = f(y)\)，结合②式，可以得到 \(f(2a-(2b-x)) = f(2b-x) = f(x)\)。
这样经过整理之后，就可以得到 \(f(2a-2b+x) = f(x+(2a-2b)) = f(x+T) = f(x)\)，其中 \(T\) 即为函数的周期长度，也就是 \(T=2a-2b\)。但是注意到题目中给出的 \(a<b\)，所以周期应该是个正数，所以调整一下确保符号正确，最终得到的周期是 \(T=2b-2a\)。
第三步、证实T是函数的周期
以上是找出了函数拥有 \(f(x+T)=f(x)\) 的性质，说明了这是一个周期函数。顺带找出了其中的一种周期性。因为发现T的过程是通过演算得到、而非灵感假设出来的，所以证实其实没有必要了。但依然可以证实一下。已知周期 \(T=2b-2a\)，将它带入函数进行验证：
\(f(x+T) = f(x+(2b-2a)) = f(2b – (2a-x)) = f(2a-x) = f(x)\)，可以看出来 \(T\) 为周期。
第四步、证实T是函数的最小周期
这里的第4步是我比较郁闷的地方，现在虽然知道了 \(T=2b-2a\) 是函数的周期，但是它并不一定是函数的最小周期，也就是说 \(T=b-a\) 也可能是函数的周期，这里应该怎么解决呢？
【这里还缺少详细准确的论证】
最后给出结论：题目中的函数，的确是一个周期函数，且它的最小周期是 \(T=2b-2a\)。
