题：判断函数 \(y=cos(x)\) 在区间 \((0, \pi)\) 上的单调性。
解：
既然是判断、讨论函数的单调性，就不大可能只通过“画出”或“脑中能够想到”函数的图像来直接完成函数单调性的论述。况且，这道题之所以能够想到它的函数图像，是因为这个函数恰巧常见且简单。如果换做一个复杂的函数，就不能直给出图像了。因而这道题的解答还是要利用数学推导完成。
一、解答过程：
首先是在区间 \((0, \pi)\) 上任意选择两个点，分别命名为 \(x_1, x_2\) 且 \(x_1 < x_2\)。之后尝试进行两个结果相减，判断结果的表达式 \(cos(x_2) – cos(x_1)\) 是否恒大或恒小。
上面构建出来的差式是无法完成结果正负判断的，只有利用余弦和差化积将它转换为乘积形式，才能够完成判断。
因而：\(cos(x_2)-cos(x_1) = -2 sin \frac{x_1 + x_2}{2} sin \frac{x_2 – x_1}{2}\)
因为：\(0 < \frac{x_1+x_2}{2} < \pi\)，所以：\(sin\frac{x_1+x_2}{2} > 0\)
因为：\(0 < \frac{x_2-x_1}{2} < \pi\)，所以：\(sin\frac{x_2-x_1}{2} > 0\)
所以结果恒为负数，从而得出在制定区间上，题目中的函数为单调递减的。
二、额外说明：
其实在上面的解答过程中会发现，原始问题并没有得到解决，因为在上面的解答过程中，原始问题\(cos(x)\)被新的子问题\(sin(x)\)取代了，而新的子问题其实是在问为什么在这个区间上的正弦值始终是大于零的。但是这个子问题因为太基础，所以默认成“显然的”而无需进一步去说明了。
三、和差化积：
还有一个基础问题，\(cos(x_2) – cos(x_1)\)如何完成的和差化积？
因为 \(cos(x_2) = cos(\frac{(x_2 + x_1) + (x_2 – x_1)}{2}) = cos(\frac{x_2+x_1}{2})cos(\frac{x_2-x_1}{2}) – sin(\frac{x_2+x_1}{2})sin(\frac{x_2-x_1}{2})\)
相似的 \(cos(x_1) = cos(\frac{(x_1 + x_2) + (x_1 – x_2)}{2}) = cos(\frac{x_1+x_2}{2})cos(\frac{x_1-x_2}{2}) – sin(\frac{x_1+x_2}{2})sin(\frac{x_1-x_2}{2}) \\ = -cos(\frac{x_1+x_2}{2})cos(\frac{x_2-x_1}{2}) +sin(\frac{x_1+x_2}{2})sin(\frac{x_2-x_1}{2})\)
然后就可以得到：\(cos(x_2) – cos(x_1) \\= [cos(\frac{x_2+x_1}{2})cos(\frac{x_2-x_1}{2}) – sin(\frac{x_2+x_1}{2})sin(\frac{x_2-x_1}{2})] – [-cos(\frac{x_1+x_2}{2})cos(\frac{x_2-x_1}{2}) +sin(\frac{x_1+x_2}{2})sin(\frac{x_2-x_1}{2})] \\ = -2 sin(\frac{x_2+x_1}{2})sin(\frac{x_2-x_1}{2})\)
