题：已知函数 \(y=\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-\sqrt{1-x}}\)，解此函数的反函数。
解：
考虑原函数表达式中含有平方差的味道，尝试使用共轭式进行化简：
\(y = \frac{1+\sqrt{1-x}}{1-\sqrt{1-x}} \\ = \frac{(1+\sqrt{1-x})(1+\sqrt{1-x})}{(1-\sqrt{1-x})(1+\sqrt{1-x})} = \frac{(1+\sqrt{1-x})(1+\sqrt{1-x})}{x}\)至此发现无法完成化简，思路不正确。所以重新考虑如何求解。直接尝试对原式进行变换：
\(y=\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-\sqrt{1-x}}\) \(\Rightarrow y(1-\sqrt{1-x})=1+\sqrt{1-x}\) \(\Rightarrow y-y\sqrt{1-x}=1+\sqrt{1-x}\) \(\Rightarrow y-1=\sqrt{1-x} + y\sqrt{1-x}\) \(\Rightarrow y-1=\sqrt{1-x}(y+1)\) \(\Rightarrow \frac{y-1}{y+1}=\sqrt{1-x}\) \(\Rightarrow (\frac{y-1}{y+1})^2=1-x\) \(\Rightarrow x=1-(\frac{y-1}{y+1})^2\)至此得到用完全用 \(y\) 的多项式对单独 \(x\) 的表达，因而解出了原函数的反函数：\(y=1-(\frac{x-1}{x+1})^2\)。
注意：得到的反函数可以进一步整理、化简，最终得到 \(y=\frac{4x}{(x+1)^2}\)。
