题：已知 \(f(x+\frac{1}{x}) = \frac{x^2}{x^4+1}\)，求 \(f(x)\)。
解：
这道题我并不会更好、更巧妙的方法，只能按照书上的思路、也就是通过对上面的表达式不断地调整，力求找出与给定参数一致的表达形式。
\(\frac{x^2}{x^4+1} \\ = (\frac{x^4+1}{x^2})^{-1} \\ = (\frac{(x^2)^2+1}{x^2})^{-1} \\ = (x^2+\frac{1}{x^2})^{-1} \\ = (x^2 +(\frac{1}{x})^2)^{-1} \\ = ((x+\frac{1}{x})^2-2)^{-1}\)至此，就将表达式中构建出了与参数表现一样的项，即可找到解答：\(f(t) = (t^2-2)^{-1}\)。
但是这样求解这个问题需要的是“灵感”，或者说是思路的确是在想着正确的方向前进。如果思路错了，那么就会很难在短时间内找到正确的答案。
有没有更通用、不依靠灵感、更依靠通用步骤的方法呢？
解2：
仔细观察题目，会发现自变量与结果之间，似乎是存在着“平方”的关系的，因而不妨先试一下直接对题目中的自变量进行平方，看一下结果：\((x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + (\frac{1}{x})^2 + 2 = \frac{x^4+1}{x^2}+2\)。
所以直接平方之后的结果中就已经包含了原题目的结果，只不过是倒数形式，还差着一个常量数值。因而可以做一个新的函数再感受一下，设函数 \(g(t) = t^2 – 2\)，此时将自变量带入得到：\(g(x+\frac{1}{x}) = \frac{x^4+1}{x^2}\)。此时与结果已经非常接近了，只要再稍微休整一下就可以得到正确结果了。
修正很简单，就是做成倒数形式：\(u(t) = \frac{1}{g(t)} = \frac{1}{t^2-2}\)，经过变量带入验证正确，即可得到最终的正确结果：\(f(x) = \frac{1}{x^2-2}\)。
用“解2”然后也是需要一点点的观察和灵感的，但是它的“灵感火花”是在最初使用的，一旦使用之后就能够看出来与正确结果的方向是否一致，并且后面的推导始终向着正确目标前进，所以相对而言更容易把路走对。
