题：若函数 \(f\) 和 \(g\) 满足 \(f(x) = e^x + 4\)，\(f(g(x)) = x^2\)，求函数 \(g(x)\) 的定义域。
解：
由题设知：\(f(g(x)) = e^{g(x)} + 4 = x^2\)，经简单变换得到：\(e^{g(x)} = x^2 -4\)。
利用指数脱底方法：\(ln(e^{g(x)}) = ln(x^2 -4)\)，左式完成脱底，并得到函数：\(g(x) = ln(x^2-4)\)
草稿思考：
\(e^a = b\)，即\(ln(b) = a\)
因为\(e^{任意数} > 0\)，所以\(b>0\)时\(ln(b)\)才有意义、可计算。
所以：\(g(x) = ln(x^2 -4)\) 中的 \(x^2-4 \)需要大于0。
所以：\(x^2-4 > 0\)
进而得到 \(x>2\) 或 \(x<-2\)
整理思路，回到解答：
函数 \(g(x)\) 的定义域是 \(x \in (- \infty, -2) \cup (2, \infty)\)
困惑：
这道题虽然做对了，还是脑袋里面还是挺混乱的。有一种“赶鸭子上架，完全不知道缘由的得出了答案”，而且我只知道自己“没有理解透彻”、却表达不出来“为什么理解的不够透彻，不理解在哪里”，这种连表达自己的困惑在哪里都表达不出来的朦胧感，真是令人感到挫败。
我在慢慢的重新梳理一下自己的思路，看能否把自己的困惑表达出来：
首先，题设中给出来的所有信息可以看到，函数\(f\)是显然明确的，如果单纯的看这个函数，它的定义域就是数轴上任意的数都可以。
但是题目中并没有直接给出\(g\)函数的表达式，所以要先求出它的表达式。通过已知条件，可以顺水推舟的得到它：\(g(x) = ln(x^2-4)\)。
此时就可以只看\(g\)函数了，题目问的就是它的定义域，我要看的也是它的定义域。我的困惑时：怎么就认为它的定义域不能是1、0这些点了呢？
通过重新梳理已经想明白了，我存在着两个问题：
1、偶尔会纠结于复数的情况；2、我对题目中提到的“定义域”理解错误，题目中说的“定义域”实际上应该特指“有效定义域”。以下是我与ChatGTP的对话：
所以数学上在对待函数的定义域时，实际上都是特指“有效定义域”，或者换一种说法就是：能够形成函数图像的数域。回归到这道题目上，它问的实际上是“全部有效定义域”。
