一、上一章遗留的一个小问题： 这一章整体阅读完成之后，算是将上一章遗留的困惑搞清楚了一些： 假设有一个可导函数 f ，它的导数总是正的，它的切线的斜率必定处处为正，故该函数不可能上下起伏，该函数一定是递增的。在第11章将证明这个事实。不管怎样，如果函数 f 总是递增的，那么它一定满足水平线检验。 第10章开始处的一段话 就是上面这句话，出现在第10章的开始处，我是读了好几遍也没有明白“这个事实”指的是“哪个事实”。所以索性就把这段文字中所有可能是“事实”的事情都先罗列出来吧： 1、如果可导函数 f 的导数是正的，该函数一定是递增的； 2、如果函数 f 总是递增的，那么它一定满足水平线检验。 而在第11.2章节中提到： 下面举一个罗尔定理应用的例子：假设有一个函数 f 满足 f’ (x) > 0 (对于所有的 x)，在 10.1.1 节中，我们断言该函数一定满足水平线检验。…

间断了一些时日，终于将《第十章、反函数和三角函数》阅读完了。整体感觉这一章的内容远比前面第九章简单、少很多。所以只花了一周左右的时间就基本粗读完成了。 在阅读这一章的时候有几个比较明显的困难摆在我的面前：首先就是在函数的反函数为什么可以直接通过对原函数的x和y进行对调，就可以得到，这里花了不少的时间，直到现在我也是似懂非懂、一头雾水。 另外就是这一章其实我并没有从始至终阅读完成，其中有几个三角函数我并不了解。前面一些章节中也有类似的情况，当遇到正割、余割时，我都只是囫囵吞枣的看过去；然后在面对双曲函数的时候则是飞快地翻过去的。 如果今后有时间，或者更准确地说如果用到了吧，再学习这块知识。 这一章阅读的过程中，因为自己的电脑升级了、有了更好用的辅助工具，所以配合着软件、工具，也做了更多的上手尝试。这里有两篇这一章的学习笔记：反函数学习笔记（1）、反函数学习笔记（2）。 当完成第十章的阅读时，其实除了上面笔记中的问题，我还存在着另外一个困惑： 这一章的重点究竟在哪里？是在介绍三角函数么？这可是微积分教材呀！所以这一章的重点应该是在介绍：在已知一个函数的前提下，如何计算这个已知函数的反函数的导数。 罗嗦的解释一下就是：已知函数，不求它的反函数的显式形式、避开它反函数的显式定义，而直接求出这个反函数的导数来。这是我的困惑便产生了：既然是在讲解“函数的反函数求导”，为什么全章都在介绍各种三角函数、反复用各种三角函数去完成举例呢？ 它为什么不用多项式函数、指数函数、对数函数等举例，而非要一个个三角函数的拿出来，画出他们的反函数、找出这些反函数的导数呢？这有什么特殊的用意吗？或者，是否是因为反函数求导，更多的出现在三角函数领域中？ 我现在只能把这个困惑先放一放，姑且认为也许就是因为三角函数的反函数比较常见、特点比较鲜明吧。 无论如何，这一章阅读完成，接下去我将一鼓作气，尽快将这本书的前半部分——微分——阅读完成。

一、什么要在后面进行证明？ 这一章开始就有一句话是我始终无法理解的：“我们会在下一章证明这个事实”，这句话中的“这个事实”是什么呢？ 二、“一种方法”我理解不了 如截图所示，书中给出的对“正弦函数的反函数”进行求导，提到了使用“一种方法”，这个方法我现在理解不了、头脑一片混乱。 在稍微往前一点的章节中，作者用到的也是如上形式相同的方法进行某个函数的反函数求导，都是“这种方法”，我理解不了的原因主要在于： 1、有些绕脑子，无法理解为什么x和y彼此对调一下就能直接使用了；2、它没有个更正式的名称么？ 但是好在，我找到了“另一种方法”，更加容易理解。但是因为篇幅有限（使用LaTex在blog中排版实在太麻烦了，所以暂时就先做这样一个不伦不类的备忘，等到后期有时间了，再重新整理、补充上来吧）。 2.1、我似乎理解了作者的解法（update: 2024.10.09） 首先，作者使用的这个解法，正式的名称应该是“隐函数求导法”，具体的思路是：1、首先依据原函数，构建出它的反函数的“隐式形式”；2、然后不对“隐函数”进行整理、不得出它的“显式形式”；3、直接进行“隐函数求导”就可以了；4、最后再稍作整理，将其中的y值设法用x值表示出来。 我之所以无法理解它，主要是因为从原函数到反函数的变化过程、或者说反函数的定义过程，没有理解。例如： 原函数如果是：，如果想对这个原函数的反函数求导，首先就是要找到、或者定义出它的反函数来，但是要怎么定义它的反函数呢？直接通过下面的方法构建出来隐函数方程，并且不进行简化就可以了： 原函数： 反函数的隐式表达形式： 这就是隐函数，虽然没有得出一个显式的表达式，但是直接用这个隐函数求导就可以了。作者的解法我虽然理解了，但还是绕脑子、吃不透、无法顿悟，痛苦中。我想我最大的困惑就是为什么只需要将x和y对调一下位置，就可以定义出反函数来了？ 2.2、再次尝试理解反函数 原函数：，我换一种写法，将x写成“输入”、将y写成“输出”，看这样是否能够避开抽象的符号，让自己的头脑更清晰一些？ 原函数：，这个原始的函数的目的是：通过给定一个具体的输入值、经过某种映射关系，得到一个明确的输出值。 现在抛开x和y的想法，只是将上面的等式稍作调整、只是文字上的调整，调整成，不用关心文字细节的变化，他们本质上还是喂入一个具体的输入数值、经过同样的映射、得到经过映射之后的输出数值。 此时对于调整后的关系式：既可以说它的自变量是，经过正弦映射得到计算结果。也可以说自变量是，经过某种未知未解的映射关系，得到的结果将是。如果按照后面的说法来说，那么上面的关系式就变成了一个未解、待解的方程，需要求解出来，才能看出具体的映射关系来。 至此，如果不求解，那么上面的未解方程，就已经是一个隐式函数了；若能解出来，那么就是显式定义的函数。 2.3、适用于我自己的方法（其实这个方法也有个更准确的名称：基于反函数性质的求导法） 上面的“对调x和y其实我还是一头雾水”，先这样吧。接下来记录一下自己比较能够理解的方法。但是自己用的这个方法似乎也存在缺陷，在“教材”后面专门提到过，似乎是要注意f(r(x))和r(f(x))两种不同的嵌套关系中，一种是错误的、一种是正确的；我还没有时间详细推敲我所使用的这个建议的推导过程，是否正中了教材中明确指出的错误。 提问：已知正弦函数，求其反函数的导数。 解： 首先定义的反函数为，欲求。这里之所以不使用原因是相似符号太多眼睛容易花。 因为根据函数与反函数的特性，有…

一、反函数的基本概念： 1、最为直观的，一个函数在坐标系上画出来之后，如果有另外一个函数的图像，与它是关于对称的，那么这两个函数就互为反函数； 2、如果按照定义来说，当有，且时，这两个函数就是互为反函数的； 3、例如，它的反函数是，可以从图像上看出来那么的确是关于绿色的线轴对称的： 二、书上的一处描述歧义： 在“一版1印”中的表述：假设，有一个可导函数f，它的导数总是正的。你认为该函数的图像会是什么样的呢？好吧，切线的斜率必定处处为正，故该函数不可能向上或向下倾…… 在“二版55印”中的表述：假设有一个可导函数f，它的导数总是正的。你认为该函数的图像会是什么样的呢？好吧，切线的斜率必定处处为正，故该函数不可能上下起伏…… 这个“第一版”中有不少这样的表述错误，会令读者在阅读时产生困惑、甚至不解。好在有最新版本对比着阅读，才不至于在它错误的表述上花费太多的时间。 三、使用SageMath绘图时遇到的2个小障碍： 1、SageMath在处理时需要人为介入、手动调整符号。如果直接使用下面的代码对进行定义，SageMath的计算会考虑到复数情形、而且在画图的时候无法绘制出负数范围部分的图像： 这个时候需要自己对符号进行处理，改成如下的定义形式才能完成正确的计算过程： 2、当想将和两个函数同时绘制出来的时候，需要注意两个函数的定义域范围要分别定义，如果定义在相同的定义域上，绘制出来的图像将很难观察他们两个的对称性： 注意f函数的定义域应该取[-3,3]，g函数的定义域取[-27,27]，这样绘制出来的图像才能比较方便的观察出对称性。我之前两个函数的定义域都设置成了[-27,27]，导致观察的时候以为g函数的图象是与x轴平行重合的，错误的观察导致错误的判断、结果以为函数定义出了错误、在这上花了一些时间。 四、手算反函数： 书中使用的例子是，并且提到手算这个函数的反函数是很困难的，如果只是为了证明它是否有反函数，可以使用导数、然后判断导数的结果恒大于零，从而确保它是符合平行线检验、从而得出“有反函数”的结论。 但是我还是想要了解、尝试一下手算反函数的方法与过程。 五、SageMath中的图例使用LaTex排版： 其中的legend_label可以用r””定义字符串，然后其中使用$$做首尾包裹，包裹中的字符串就是LaTex内容，渲染输出的时候，这部分内容将会依LaTex进行排版渲染。得到的图像会更加精致一些：

第九章学习的很辛苦，正如这章引言所说：这是很长的一章内容（注1）。断断续续用了近一个月的时间，也才只将主要内容读完，最后还遗留了一个“双曲函数”没有阅读（因为双曲函数不常见，这一章又实在太长难以坚持，所以放弃最后的双曲章节学习）。 这一章的内容给我的感觉是“又多又乱”，起初阅读的时候总会读着读着就有种莫名其妙、甚至不知所云的感觉。其实直到今天完成阅读，仍然有点儿一头雾水的感觉。我想大概应该有以下几方面的原因： 1、指数函数和对数函数是非常重要的 在工程或自然科学领域，指数函数和对数函数十分重要且常见，第九章的撰写目的则是要从基础概念（什么是指数函数、什么是对数函数），一直讲解到实际应用（指数增长、指数衰变），这样走马观花的快速概览，使得内容上的连贯性变差了，跳跃性比较大，所以读起来有些跟不上作者的思路； 2、全章其实是分成三大部分的 正因为上面提到的全章是从始至终的讲解，在没有完整阅读完成之前，就有一种摸不清脉络的感觉。全章阅读下来，可以发现它的脉络还是非常清晰的：基础介绍（1-2节）、导数与极限（3-4节）、数学计算应用（5节）、工程应用（6节）； 3、其中的导数、极限章节阅读的混乱感 尤其是在阅读第3节、第4节时，明显有一种混乱、不知脉络的感觉。 首先是自己对微分课程还不是十分清晰，正是这种不清晰的认识，总感觉微分课程不是应该先引入极限、再从极限的概念完成微分和求导的计算么？可第九章的编排，怎么是先完成指数函数和对数函数的求导、然后又返回去聊他们的极限了呢？ 尤其是：极限这么基础的概念，为什么要反而放在求导后面再去介绍？又为什么花费那么大的篇章、篇幅去不断推导各处的极限呢？ 我在阅读9.4的时候，总以为这些极限是再给求导做铺垫，而且总是奇怪“求导不是明明已经在9.3中完成了吗？”，正是这样的困惑和对后续的期待，导致9.4看得十分吃力。 在完成全章的阅读，尤其是反复的几遍阅读之后，我似乎明白了它的章节依据：9.3章将的是指数函数和对数函数的求导，这就是全章的“微分课程重点章节”，这一节的学习隐含着一个前提：读者是已经了解了极限的概念的，所以在完成本章1-2节基础课程之后，直接完成9.3的函数求导学习便可以了。 接下来的9.4节（极限）与前面的“9.3求导”已经没有关系了，这里的极限是额外的、深入的研究指数函数和对数函数的图像、在各个重要结点上面的极限情况。同时这一节为了求某些函数的极限，要用到“隐函数求导”机制，所以将这一极限知识放在求导知识的后面：既可以认为它是独立的一个章节、又需要一点点的前节内容基础。 所以9.4的极限章节可以说是独立的，学习它的目的只是对指数函数和对数函数有更细节的了解，而与微分关联不大。 4、后面的几个章节更是彼此独立的话题 如前面总结的，全部第九章内容看上去很多，实际重点只有9.3一节，恰恰与感觉相悖：这一章的核心内容很少。只不过是被9.4节冗长的内容误导了，后面的9.5、9.6、9.7更是与函数求导无关，都是独立的话题。 例如9.5节说的是“取对数求导法”，这是一个利用对数特性完成各类复杂多项式求导的技巧（注2），相当于是一个数学计算的应用技巧；9.6节则是介绍指数增长、指数衰变的话题，是工程应用上的实例介绍。 因为后面的若干章节内容，都是彼此独立（相对独立）的，所以阅读起来并没有依赖关系，此时如果总以为它们是在给后面的内容做铺垫，势必就会被后面“突变”的话题错愕到，茫然又不知所措。 虽说完成了这一章的初步阅读，大体上也觉得自己的理解没有错误，可细细想来其中还是有非常多的不理解的地方，需要再单独花时间详细的列出所有自己囫囵吞枣、不理解的细节，然后再花时间详细推敲。 注解： 注1、幸好手中用的是《普林斯顿微积分读本》第二版、又有这本书的英文版，否则如果只单纯依靠网络上找到的第一版电子版进行学习，那么学习起来也许会更加吃力。通过英文版、第二版的对比阅读，学习起来还是比较容易、能够理解作者究竟是想表达什么内容的； 注2、这就是有纸质第二版和英文版的好处，如果只看第一版内容，就会发现9.5章节的标题是“错误的”，在第一版中，9.5章节翻译成“对数函数求导“，修订版翻译成”取对数求导法“，修订后的文字更准确：这是一种利用对数特性进行数学计算的方法技巧，可以用于完成复杂多项式的简化计算。