一、上一章遗留的一个小问题：
这一章整体阅读完成之后，算是将上一章遗留的困惑搞清楚了一些：
假设有一个可导函数 f ，它的导数总是正的，它的切线的斜率必定处处为正，故该函数不可能上下起伏，该函数一定是递增的。在第11章将证明这个事实。不管怎样，如果函数 f 总是递增的，那么它一定满足水平线检验。
第10章开始处的一段话
就是上面这句话，出现在第10章的开始处，我是读了好几遍也没有明白“这个事实”指的是“哪个事实”。所以索性就把这段文字中所有可能是“事实”的事情都先罗列出来吧：
1、如果可导函数 f 的导数是正的，该函数一定是递增的；
2、如果函数 f 总是递增的，那么它一定满足水平线检验。
而在第11.2章节中提到：
下面举一个罗尔定理应用的例子：假设有一个函数 f 满足 f’ (x) > 0 (对于所有的 x)，在 10.1.1 节中，我们断言该函数一定满足水平线检验。
第11章与前面遗留问题的呼应回答
这样就能看出来，实际上第10章中仅仅提出来、还没有证明的“这个事实”不是1、而是2：如果一个函数是连续递增的，那么它一定满足水平线检验。
求证过程则是利用反证法，先假设函数 f 的确是连续递增的，但假设他在某条水平线上存在着至少2个以上的交点。假设这两个交点分别是a点和b点。
因为：函数 f 是连续递增的，所以函数 f 在其定义域范围内处处可导；此时在其定义域内，找到假设的两个交点，分别是a和b；那么\(f(a) = f(b)\)。
此时应用罗尔定理可知，在(a,b)之间，必然存在至少一点c，满足：\(f'(c)=0\)，此假设结论\(f'(c)=0\)与题目给出的基础前提\(f'(x)>0\)矛盾，所以假设不成立，得证。
二、本章学习心得体会：
第11章整体看下来不难，只用了一天就基本阅读完成了。整体印象比较深的有四点：
1、书中给出的一道证明题吓到我了：
例：证明方程\(2xe^{x^{2}}-e+1=0\)有解。
这道题的证明过程很简单，但是思路却让我觉得不可思议，它是找到了一个“辅助函数”进行求导，求导结果恰恰就是上面的方程的形式了。我之所以觉得不可思议，是因为作者是怎么通过一个结果形式、想到了“原始面貌”的呢？如果没有经验、没有直觉、没有运气，我觉得这种”通过结果找最初样貌“简直就是不可能的。
2、罗尔定理和中值定理的关系和历史：
感觉这两个定理都很有趣，而且在这两个定理的再后期，应该还有一个柯西定理与他们一脉相连。所以我想如果有时间，可以将这三个定理的发现人、发现历史、以及这三个定理的具体应用，再多看一看；
此外，对于“中值定理”，书中只是说它是“中值定理”，但这个定理的全名应该是“拉格朗日中值定理”，而以“拉格朗日”命名的定理，除了中值定理似乎还有其他一些，这又是一条脉络，也应该抽时间梳理、了解一下。
3、这一章节的证明多用反证法：
我现在心里想着的是，为什么这些证明要使用反证法呢？或者换种表述：任何数学问题，如果可以求证，那么是否除了反证法之外一定有不用反证法就能完成证明的方法？
如果按照这一想法重新阅读这一章，我想将它所有用反证法进行过证明的命题，都尝试着找到“不用反证法”的方法去证明一遍。
4、另一道例题让我觉得有趣：
题目内容是：假设有这样一个函数，对于所有的实数 x 处处可导并且 \(f’ (x) > 4\)。问题是，如何证明这个函数 \(y = f (x)\) 的图像与线性函数 \(y = 3x – 2\) 最多只有一个交点。
这道题的求解过程并不难，让我觉得有趣的是它后面又从另一个角度——小车行驶路程和时间的关系，导数就是小车的瞬时速度——对这道题进行了解释。读过之后感觉非常开心，能够通过不同的角度看待相同的题目，对导数的理解多少有一些顿悟。
三、小结
这一章似乎更多的都是理论介绍，可动笔跟着计算、练习的地方比较少，所以阅读起来不吃力，很快就完成了。
我想可以继续下一章的学习了：
