一、什么要在后面进行证明？
这一章开始就有一句话是我始终无法理解的：“我们会在下一章证明这个事实”，这句话中的“这个事实”是什么呢？
二、“一种方法”我理解不了
如截图所示，书中给出的对“正弦函数的反函数”进行求导，提到了使用“一种方法”，这个方法我现在理解不了、头脑一片混乱。
在稍微往前一点的章节中，作者用到的也是如上形式相同的方法进行某个函数的反函数求导，都是“这种方法”，我理解不了的原因主要在于：
1、有些绕脑子，无法理解为什么x和y彼此对调一下就能直接使用了；2、它没有个更正式的名称么？
但是好在，我找到了“另一种方法”，更加容易理解。但是因为篇幅有限（使用LaTex在blog中排版实在太麻烦了，所以暂时就先做这样一个不伦不类的备忘，等到后期有时间了，再重新整理、补充上来吧）。
2.1、我似乎理解了作者的解法（update: 2024.10.09）
首先，作者使用的这个解法，正式的名称应该是“隐函数求导法”，具体的思路是：1、首先依据原函数，构建出它的反函数的“隐式形式”；2、然后不对“隐函数”进行整理、不得出它的“显式形式”；3、直接进行“隐函数求导”就可以了；4、最后再稍作整理，将其中的y值设法用x值表示出来。
我之所以无法理解它，主要是因为从原函数到反函数的变化过程、或者说反函数的定义过程，没有理解。例如：
原函数如果是：\(f(x)=y=sin(x)\)，如果想对这个原函数\(f(x)\)的反函数求导，首先就是要找到、或者定义出它的反函数来，但是要怎么定义它的反函数呢？直接通过下面的方法构建出来隐函数方程，并且不进行简化就可以了：
原函数：\(y = sin(x)\)
反函数的隐式表达形式：\(x = sin(y)\)
这就是隐函数，虽然没有得出一个显式的表达式，但是直接用这个隐函数求导就可以了。作者的解法我虽然理解了，但还是绕脑子、吃不透、无法顿悟，痛苦中。我想我最大的困惑就是为什么只需要将x和y对调一下位置，就可以定义出反函数来了？
2.2、再次尝试理解反函数
原函数：\(y = sin(x)\)，我换一种写法，将x写成“输入”、将y写成“输出”，看这样是否能够避开抽象的符号，让自己的头脑更清晰一些？
原函数：\(c_出 = sin(c_入)\)，这个原始的函数的目的是：通过给定一个具体的输入值、经过某种映射关系，得到一个明确的输出值。
现在抛开x和y的想法，只是将上面的等式稍作调整、只是文字上的调整，调整成\(c_入 = sin(c_出)\)，不用关心文字细节的变化，他们本质上还是喂入一个具体的输入数值、经过同样的映射、得到经过映射之后的输出数值。
此时对于调整后的关系式：既可以说它的自变量是\(c_出\)，经过正弦映射得到计算结果。也可以说自变量是\(c_入\)，经过某种未知未解的映射关系，得到的结果将是\(c_出\)。如果按照后面的说法来说，那么上面的关系式就变成了一个未解、待解的方程，需要求解出来，才能看出具体的映射关系来。
至此，如果不求解，那么上面的未解方程，就已经是一个隐式函数了；若能解出来，那么就是显式定义的函数。
2.3、适用于我自己的方法（其实这个方法也有个更准确的名称：基于反函数性质的求导法）
上面的“对调x和y其实我还是一头雾水”，先这样吧。接下来记录一下自己比较能够理解的方法。但是自己用的这个方法似乎也存在缺陷，在“教材”后面专门提到过，似乎是要注意f(r(x))和r(f(x))两种不同的嵌套关系中，一种是错误的、一种是正确的；我还没有时间详细推敲我所使用的这个建议的推导过程，是否正中了教材中明确指出的错误。
提问：已知正弦函数\(f(x) = y = sin(x), x \in (0, \pi)\)，求其反函数的导数。
解：
首先定义\(f(x)\)的反函数为\(r(x)\)，欲求\(\frac{d}{dx}r(x)\)。这里之所以不使用\(f^{-1}(x)\)原因是相似符号太多眼睛容易花。
因为根据函数与反函数的特性，有\(f(r(x)) = x\)
所以有\(\frac{d}{dx}f(r(x)) = \frac{d}{dx}x\)，左边链式展开、右边计算结果，进而得到：
\(\frac{d}{dr(x)}sin(r(x)) \frac{d}{dx}r(x) = 1\)，继续推导，得到：
\(cos(r(x)) \frac{dr(x)}{dx} = 1\)，整理后得到欲求反函数的导数表达式：\(r'(x) = \frac{1}{cos(r(x))}\)
因为：\(cos(r(x)) = \pm \sqrt{1-sin^2(r(x))}\)，注意到\(sin(r(x))\)恰恰是\(f(r(x)) = x\)，所以\(cos(r(x)) = \pm \sqrt{1-x^2}\)，将这个结果带回推导过程中，最终得到：
\(r'(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)。之后只要再去判断一下符号的取舍就可以了。
三、高兴的找到了一处错误
在电子书中有一处错误，翻看手中的纸质图书，对比的确是个错误。应该是印刷批次比较老，手中的纸质版（同样是第二版、更后期的印刷版本）中已经进行了修订。
能够在学习的时候看出来书中的错误，这还是非常令人感到开心的。
