一、反函数的基本概念： 1、最为直观的，一个函数在坐标系上画出来之后，如果有另外一个函数的图像，与它是关于对称的，那么这两个函数就互为反函数； 2、如果按照定义来说，当有，且时，这两个函数就是互为反函数的； 3、例如，它的反函数是，可以从图像上看出来那么的确是关于绿色的线轴对称的： 二、书上的一处描述歧义： 在“一版1印”中的表述：假设，有一个可导函数f，它的导数总是正的。你认为该函数的图像会是什么样的呢？好吧，切线的斜率必定处处为正，故该函数不可能向上或向下倾…… 在“二版55印”中的表述：假设有一个可导函数f，它的导数总是正的。你认为该函数的图像会是什么样的呢？好吧，切线的斜率必定处处为正，故该函数不可能上下起伏…… 这个“第一版”中有不少这样的表述错误，会令读者在阅读时产生困惑、甚至不解。好在有最新版本对比着阅读，才不至于在它错误的表述上花费太多的时间。 三、使用SageMath绘图时遇到的2个小障碍： 1、SageMath在处理时需要人为介入、手动调整符号。如果直接使用下面的代码对进行定义，SageMath的计算会考虑到复数情形、而且在画图的时候无法绘制出负数范围部分的图像： 这个时候需要自己对符号进行处理，改成如下的定义形式才能完成正确的计算过程： 2、当想将和两个函数同时绘制出来的时候，需要注意两个函数的定义域范围要分别定义，如果定义在相同的定义域上，绘制出来的图像将很难观察他们两个的对称性： 注意f函数的定义域应该取[-3,3]，g函数的定义域取[-27,27]，这样绘制出来的图像才能比较方便的观察出对称性。我之前两个函数的定义域都设置成了[-27,27]，导致观察的时候以为g函数的图象是与x轴平行重合的，错误的观察导致错误的判断、结果以为函数定义出了错误、在这上花了一些时间。 四、手算反函数： 书中使用的例子是，并且提到手算这个函数的反函数是很困难的，如果只是为了证明它是否有反函数，可以使用导数、然后判断导数的结果恒大于零，从而确保它是符合平行线检验、从而得出“有反函数”的结论。 但是我还是想要了解、尝试一下手算反函数的方法与过程。 五、SageMath中的图例使用LaTex排版： 其中的legend_label可以用r””定义字符串，然后其中使用$$做首尾包裹，包裹中的字符串就是LaTex内容，渲染输出的时候，这部分内容将会依LaTex进行排版渲染。得到的图像会更加精致一些：

第九章学习的很辛苦，正如这章引言所说：这是很长的一章内容（注1）。断断续续用了近一个月的时间，也才只将主要内容读完，最后还遗留了一个“双曲函数”没有阅读（因为双曲函数不常见，这一章又实在太长难以坚持，所以放弃最后的双曲章节学习）。 这一章的内容给我的感觉是“又多又乱”，起初阅读的时候总会读着读着就有种莫名其妙、甚至不知所云的感觉。其实直到今天完成阅读，仍然有点儿一头雾水的感觉。我想大概应该有以下几方面的原因： 1、指数函数和对数函数是非常重要的 在工程或自然科学领域，指数函数和对数函数十分重要且常见，第九章的撰写目的则是要从基础概念（什么是指数函数、什么是对数函数），一直讲解到实际应用（指数增长、指数衰变），这样走马观花的快速概览，使得内容上的连贯性变差了，跳跃性比较大，所以读起来有些跟不上作者的思路； 2、全章其实是分成三大部分的 正因为上面提到的全章是从始至终的讲解，在没有完整阅读完成之前，就有一种摸不清脉络的感觉。全章阅读下来，可以发现它的脉络还是非常清晰的：基础介绍（1-2节）、导数与极限（3-4节）、数学计算应用（5节）、工程应用（6节）； 3、其中的导数、极限章节阅读的混乱感 尤其是在阅读第3节、第4节时，明显有一种混乱、不知脉络的感觉。 首先是自己对微分课程还不是十分清晰，正是这种不清晰的认识，总感觉微分课程不是应该先引入极限、再从极限的概念完成微分和求导的计算么？可第九章的编排，怎么是先完成指数函数和对数函数的求导、然后又返回去聊他们的极限了呢？ 尤其是：极限这么基础的概念，为什么要反而放在求导后面再去介绍？又为什么花费那么大的篇章、篇幅去不断推导各处的极限呢？ 我在阅读9.4的时候，总以为这些极限是再给求导做铺垫，而且总是奇怪“求导不是明明已经在9.3中完成了吗？”，正是这样的困惑和对后续的期待，导致9.4看得十分吃力。 在完成全章的阅读，尤其是反复的几遍阅读之后，我似乎明白了它的章节依据：9.3章将的是指数函数和对数函数的求导，这就是全章的“微分课程重点章节”，这一节的学习隐含着一个前提：读者是已经了解了极限的概念的，所以在完成本章1-2节基础课程之后，直接完成9.3的函数求导学习便可以了。 接下来的9.4节（极限）与前面的“9.3求导”已经没有关系了，这里的极限是额外的、深入的研究指数函数和对数函数的图像、在各个重要结点上面的极限情况。同时这一节为了求某些函数的极限，要用到“隐函数求导”机制，所以将这一极限知识放在求导知识的后面：既可以认为它是独立的一个章节、又需要一点点的前节内容基础。 所以9.4的极限章节可以说是独立的，学习它的目的只是对指数函数和对数函数有更细节的了解，而与微分关联不大。 4、后面的几个章节更是彼此独立的话题 如前面总结的，全部第九章内容看上去很多，实际重点只有9.3一节，恰恰与感觉相悖：这一章的核心内容很少。只不过是被9.4节冗长的内容误导了，后面的9.5、9.6、9.7更是与函数求导无关，都是独立的话题。 例如9.5节说的是“取对数求导法”，这是一个利用对数特性完成各类复杂多项式求导的技巧（注2），相当于是一个数学计算的应用技巧；9.6节则是介绍指数增长、指数衰变的话题，是工程应用上的实例介绍。 因为后面的若干章节内容，都是彼此独立（相对独立）的，所以阅读起来并没有依赖关系，此时如果总以为它们是在给后面的内容做铺垫，势必就会被后面“突变”的话题错愕到，茫然又不知所措。 虽说完成了这一章的初步阅读，大体上也觉得自己的理解没有错误，可细细想来其中还是有非常多的不理解的地方，需要再单独花时间详细的列出所有自己囫囵吞枣、不理解的细节，然后再花时间详细推敲。 注解： 注1、幸好手中用的是《普林斯顿微积分读本》第二版、又有这本书的英文版，否则如果只单纯依靠网络上找到的第一版电子版进行学习，那么学习起来也许会更加吃力。通过英文版、第二版的对比阅读，学习起来还是比较容易、能够理解作者究竟是想表达什么内容的； 注2、这就是有纸质第二版和英文版的好处，如果只看第一版内容，就会发现9.5章节的标题是“错误的”，在第一版中，9.5章节翻译成“对数函数求导“，修订版翻译成”取对数求导法“，修订后的文字更准确：这是一种利用对数特性进行数学计算的方法技巧，可以用于完成复杂多项式的简化计算。

最近”数学“好像是个热门，也来​凑个热闹、分享一则有趣的数学故事和一篇相关文档： 早年间，国外一所大学的入学考试，分成AB卷，和今天的AB卷不同，它是明确的而非随机的给某一类人A卷、另一类人B卷。B卷的题目看上去非常简单，简单到似乎初学数学既可做答。但拿到B卷的人，无论怎么推敲，也答不出。 其实B卷上的题目都是”棺材问题“，看着容易、实际上玄机重重、做到死都难以求解。那所大学是为了用这类“棺材问题”拦住B类考生，而且可以堂而皇之的说：“你看，这么容易还做不出，不是我们不招、是你们能力欠缺”。 这段历史趣闻说来有趣、其实悲壮。下面文档中列了20道“棺材问题”，趁着最近数学话题比较热，值得看一看、读一读、做一做。 电子版地址：https://arxiv.org/pdf/1110.1556v1

这里有2则对数法则，如果能直接背下来、就可以直接使用了： 对数法则3，乘积的对数，是对数的和： 对数法则4：商的对数，是对数的差： 但是我想具体学习一下他们两者的证明过程，这样对于记忆、背诵更有帮助（即便背不下来，也能通过实时推导想起来结论）。 一、试证明 ： 基础知识1：对数抽底公式， 基础知识2：指数法则， 首先通过抽底公式对欲证明等式两边分别进行抽底： 左边抽底： 右边添加底数，并利用指数法则变换，变换之后对拆分出的两项分别进行脱底： 由上面的左边抽底结果和右边抽底结果可见，两边相等，所以得证。 二、试证明 ： 同上面的乘积法则相似的，商法则也用要到同样的抽底公式和指数法则完成证明。首先对左边 添加底数b，以完成抽底过程： 待证等式右边的算式同样先添加底数b，之后逐步进行变换、简化： 待证等式左边、右边经过运算是相等的，所以待证等式是成立的，即： 成立，得证、证毕。

以前不知道形如这样的字体原来有个独立的字体名——黑板粗体。 在数学中经常会用到这些“空心字母”，如今知道了他们的名字叫“黑板粗体”，顾名思义就是老师在黑板上书写时的粗体文字。在黑板上写作，不像印刷文字那么标准，都是手写风格的，而手写时若想区分normal或者bold，就要比较醒目才能够区分，这样的“空心字母”正是手写时能够比较方便的进行粗体表示的方法，从而成为“黑板粗体”了。 在数学中，黑板粗体使用的比较频繁，例如对于各种不同的数域，习惯性的定义是： 表示自然数、表整数、表有理数、表示实数、则意味着是复数数域。 但是我一直不太理解，书籍上，也就是标准印刷物上，有必要使用“黑板粗体”么？既然都已经是标准印刷物了，大写英文字母的normal和bold应该是很容易区分、并且显著的，为什么还要特意使用“黑板粗体”呢？ 这个问题以前我一直不清楚、也没有机会找寻答案。因为对于这个困惑，我很难将自己的想法整理成一句标准的英文，然后去搜索、找寻答案。如今借助AI问答，我似乎是找到了一个由AI给我的回答，比较可信： 原因是：即便是印刷物，早期也不是由“高清打印机”排版打印出来的，而是使用打字机打印出来，再进行复印；或者是通过铅字排版油印出来的。而前者、也就是打字机并没有特意做“粗体”，为了打印出粗体效果，就要在需要打印粗体的文字上先打一下、然后使用退格回退车头、再打印一边。如此打印出来的加粗感觉的文字，并不是真的“粗重”，而是“重叠”看上去的最终效果还是“重影空心样式”。 而千字印刷使用的千字也是同样的道理，铅字本身是籍由工人手工制作，英文小写、大写手工取范很容易区分，但无论大小写，在一个字母的标准版、加粗版上，手工雕琢就很难做出显著的区别，所以用一个形态样式更明显的区分标志表示加粗显然就是更便于区分的技巧了。 所以在早期的书籍出版物上，即便是已进入工业时代，仍然习惯使用“黑板粗体”表示加重、加粗的文字。再进入电子时代之后，虽然印刷精度已经能够在印刷物上明显的区分normal和bold了，但数学行业已经养成了一个习惯——用黑板空心字表示粗体。进而直至今天，依然习惯使用诸如来表示自然数数域，这样的习惯已成为约定了。

以下笔记为个人学习“微分”时的笔记，比较啰嗦、凌乱，并且其中表述可能存在错误与不准确，个人观点、仅供参考。 一、因变量与自变量的比率： 试想有如下一个函数：，这里的函数名称是，自变量是，函数的计算结果命名为、并称这个结果为因变量。 也就是说当自变量发生变化的时候，整个函数式的结果、也就是因变量会随之产生变化。换言之，会随着的变动而变动。 如果自变量有了的变动，因变量则会联动的产生的变动。此时我们想知道自变量的这个变动会致使因变量产生多大程度的变动、这种联动是以什么程度传递的：是线性的、还是放大的、又或者只会引起很小的扰动、还或者几乎不会导致扰动？ 数学上可以用二者变化的比值权衡，也就是因变量受到自变量扰动的程度是。这样如果则意味着自变量的变化会线性影响因变量，如果则意味着自变量的变动会导致因变量产生100倍的放大。 上面提到的也好、也好，都是具体的情况，现实并非这样具体的数值，以这篇文章最开始的函数来看，它的因变量与自变量的比值计算结果是： 这时可以看到对于函数而言，当它的自变量变化一点点、因变量会联动着变化一点点。二者的变化比率计算出来是，也就是因变量的联动量，是，自变量的扰动量，的两倍，多一丢丢。把那一丢丢忽略掉，简化的、大约地说，因变量的联动量是自变量扰动量的两倍。 自变量在哪里开始进行扰动呢？没准儿，自变量可以在数轴上任何一个地方开始做起始点，进行扰动。而自变量在不同的轴坐标点上的扰动，的具体数值都会不同。所以在没有明确从哪点开始扰动时，并不是准确的数值，它只是一个新的函数，要等的起始点明确时、的数值才能明确。 在没有明确前，是个函数，具体而言就是。 假设在处，发生了的扰动，因变量则会产生的联动，而因变量与自变量各自的变动量的比值，为100.001倍，将一丢丢忽略掉之后，就是100倍，这与 当 时 是吻合的。 上面提到的在没有明确前，是一个函数式，这个函数称为“比率函数”。上面提到的当明确时，也就随之有了具体的数值，这个具体的数值，称为“比率”。所以是有两个不同的“阶段”的，比率函数阶段、比率数值阶段： 1、当处于比率函数阶段时，是个函数，描述了原函数因变量与自变量的比值的关系； 2、当处于比率数值阶段时，是个数值，描述了原函数因变量与自变量的比值； 上面两句话几乎完全一样，但是细细品味，第一句是个图像、第二句是个具体的数值结果。 二、微分系数，也就是导数名称的由来： 上面一直在用和表示很小，换种表示的方法，用和来表示，暂且认为只是表示形式上的替换，本质上没有差异。 事实上，这里应该是有着本质的差异的，前者是在表示“增量”，而者表示“极限增量”，前者更侧重于“增量的增”，后者侧重于“极限增量中的近乎于极限痕量”。甚至还有更深层的含义我尚未可知。但不重要，暂且认为二者没有区别，就是形式上的替换好了。 同时给这个或者替换之后的符号一个名称，称它为“微”，很贴切，就是“微小的微”。 这样，或者就可以念出来了，念做“微y比微x”，或者“微y除以微x”。尤其对于是分数形式的，所以这个整体上看就是“微分形式计算式”、简称“微分”。 前面已经计算过，现在用微分形式替换，写成，这其中的“比率函数”是前面商式的结果，做一些变换可以将这个“比率函数”看的更清楚一些： 这里的是“微y”前面的系数，更罗嗦地说它是“比例系数”，既然上面的式子已经改口叫“微分”了，那不妨将这个“比例系数”也改口称为“微分等式系数”，再简称为“微分系数”吧。可是即便将它简称为“微分系数”似乎还是有一些罗嗦的，这里再给它一个新的名称，称微分系数为“导数”。 显然，这一连串的重新命名可以原路啰里啰唆的说回去，“导数”就是之前提到的“比率”，所以和在用“比率”称呼它时是一样的，导数也是有两个阶段的： 导函数阶段，对应着上面提到的“比率函数”；导数阶段，对应着上面提到的“比率数值”阶段。但是通常不会区分导数和导函数，就都用“导数”来说，总之就是没有明确启示数值时，导数是个“函数”，明确了的数值时，导数就已经是一个明确的数值了。