这里有2则对数法则，如果能直接背下来、就可以直接使用了： 对数法则3，乘积的对数，是对数的和： 对数法则4：商的对数，是对数的差： 但是我想具体学习一下他们两者的证明过程，这样对于记忆、背诵更有帮助（即便背不下来，也能通过实时推导想起来结论）。 一、试证明 ： 基础知识1：对数抽底公式， 基础知识2：指数法则， 首先通过抽底公式对欲证明等式两边分别进行抽底： 左边抽底： 右边添加底数，并利用指数法则变换，变换之后对拆分出的两项分别进行脱底： 由上面的左边抽底结果和右边抽底结果可见，两边相等，所以得证。 二、试证明 ： 同上面的乘积法则相似的，商法则也用要到同样的抽底公式和指数法则完成证明。首先对左边 添加底数b，以完成抽底过程： 待证等式右边的算式同样先添加底数b，之后逐步进行变换、简化： 待证等式左边、右边经过运算是相等的，所以待证等式是成立的，即： 成立，得证、证毕。

以前不知道形如这样的字体原来有个独立的字体名——黑板粗体。 在数学中经常会用到这些“空心字母”，如今知道了他们的名字叫“黑板粗体”，顾名思义就是老师在黑板上书写时的粗体文字。在黑板上写作，不像印刷文字那么标准，都是手写风格的，而手写时若想区分normal或者bold，就要比较醒目才能够区分，这样的“空心字母”正是手写时能够比较方便的进行粗体表示的方法，从而成为“黑板粗体”了。 在数学中，黑板粗体使用的比较频繁，例如对于各种不同的数域，习惯性的定义是： 表示自然数、表整数、表有理数、表示实数、则意味着是复数数域。 但是我一直不太理解，书籍上，也就是标准印刷物上，有必要使用“黑板粗体”么？既然都已经是标准印刷物了，大写英文字母的normal和bold应该是很容易区分、并且显著的，为什么还要特意使用“黑板粗体”呢？ 这个问题以前我一直不清楚、也没有机会找寻答案。因为对于这个困惑，我很难将自己的想法整理成一句标准的英文，然后去搜索、找寻答案。如今借助AI问答，我似乎是找到了一个由AI给我的回答，比较可信： 原因是：即便是印刷物，早期也不是由“高清打印机”排版打印出来的，而是使用打字机打印出来，再进行复印；或者是通过铅字排版油印出来的。而前者、也就是打字机并没有特意做“粗体”，为了打印出粗体效果，就要在需要打印粗体的文字上先打一下、然后使用退格回退车头、再打印一边。如此打印出来的加粗感觉的文字，并不是真的“粗重”，而是“重叠”看上去的最终效果还是“重影空心样式”。 而千字印刷使用的千字也是同样的道理，铅字本身是籍由工人手工制作，英文小写、大写手工取范很容易区分，但无论大小写，在一个字母的标准版、加粗版上，手工雕琢就很难做出显著的区别，所以用一个形态样式更明显的区分标志表示加粗显然就是更便于区分的技巧了。 所以在早期的书籍出版物上，即便是已进入工业时代，仍然习惯使用“黑板粗体”表示加重、加粗的文字。再进入电子时代之后，虽然印刷精度已经能够在印刷物上明显的区分normal和bold了，但数学行业已经养成了一个习惯——用黑板空心字表示粗体。进而直至今天，依然习惯使用诸如来表示自然数数域，这样的习惯已成为约定了。

以下笔记为个人学习“微分”时的笔记，比较啰嗦、凌乱，并且其中表述可能存在错误与不准确，个人观点、仅供参考。 一、因变量与自变量的比率： 试想有如下一个函数：，这里的函数名称是，自变量是，函数的计算结果命名为、并称这个结果为因变量。 也就是说当自变量发生变化的时候，整个函数式的结果、也就是因变量会随之产生变化。换言之，会随着的变动而变动。 如果自变量有了的变动，因变量则会联动的产生的变动。此时我们想知道自变量的这个变动会致使因变量产生多大程度的变动、这种联动是以什么程度传递的：是线性的、还是放大的、又或者只会引起很小的扰动、还或者几乎不会导致扰动？ 数学上可以用二者变化的比值权衡，也就是因变量受到自变量扰动的程度是。这样如果则意味着自变量的变化会线性影响因变量，如果则意味着自变量的变动会导致因变量产生100倍的放大。 上面提到的也好、也好，都是具体的情况，现实并非这样具体的数值，以这篇文章最开始的函数来看，它的因变量与自变量的比值计算结果是： 这时可以看到对于函数而言，当它的自变量变化一点点、因变量会联动着变化一点点。二者的变化比率计算出来是，也就是因变量的联动量，是，自变量的扰动量，的两倍，多一丢丢。把那一丢丢忽略掉，简化的、大约地说，因变量的联动量是自变量扰动量的两倍。 自变量在哪里开始进行扰动呢？没准儿，自变量可以在数轴上任何一个地方开始做起始点，进行扰动。而自变量在不同的轴坐标点上的扰动，的具体数值都会不同。所以在没有明确从哪点开始扰动时，并不是准确的数值，它只是一个新的函数，要等的起始点明确时、的数值才能明确。 在没有明确前，是个函数，具体而言就是。 假设在处，发生了的扰动，因变量则会产生的联动，而因变量与自变量各自的变动量的比值，为100.001倍，将一丢丢忽略掉之后，就是100倍，这与 当 时 是吻合的。 上面提到的在没有明确前，是一个函数式，这个函数称为“比率函数”。上面提到的当明确时，也就随之有了具体的数值，这个具体的数值，称为“比率”。所以是有两个不同的“阶段”的，比率函数阶段、比率数值阶段： 1、当处于比率函数阶段时，是个函数，描述了原函数因变量与自变量的比值的关系； 2、当处于比率数值阶段时，是个数值，描述了原函数因变量与自变量的比值； 上面两句话几乎完全一样，但是细细品味，第一句是个图像、第二句是个具体的数值结果。 二、微分系数，也就是导数名称的由来： 上面一直在用和表示很小，换种表示的方法，用和来表示，暂且认为只是表示形式上的替换，本质上没有差异。 事实上，这里应该是有着本质的差异的，前者是在表示“增量”，而者表示“极限增量”，前者更侧重于“增量的增”，后者侧重于“极限增量中的近乎于极限痕量”。甚至还有更深层的含义我尚未可知。但不重要，暂且认为二者没有区别，就是形式上的替换好了。 同时给这个或者替换之后的符号一个名称，称它为“微”，很贴切，就是“微小的微”。 这样，或者就可以念出来了，念做“微y比微x”，或者“微y除以微x”。尤其对于是分数形式的，所以这个整体上看就是“微分形式计算式”、简称“微分”。 前面已经计算过，现在用微分形式替换，写成，这其中的“比率函数”是前面商式的结果，做一些变换可以将这个“比率函数”看的更清楚一些： 这里的是“微y”前面的系数，更罗嗦地说它是“比例系数”，既然上面的式子已经改口叫“微分”了，那不妨将这个“比例系数”也改口称为“微分等式系数”，再简称为“微分系数”吧。可是即便将它简称为“微分系数”似乎还是有一些罗嗦的，这里再给它一个新的名称，称微分系数为“导数”。 显然，这一连串的重新命名可以原路啰里啰唆的说回去，“导数”就是之前提到的“比率”，所以和在用“比率”称呼它时是一样的，导数也是有两个阶段的： 导函数阶段，对应着上面提到的“比率函数”；导数阶段，对应着上面提到的“比率数值”阶段。但是通常不会区分导数和导函数，就都用“导数”来说，总之就是没有明确启示数值时，导数是个“函数”，明确了的数值时，导数就已经是一个明确的数值了。

已知方程，，求在时的根。这是一元二次方程，英文为“quadratic equation”，求解这个方程似乎是初中的数学知识，惭愧已经忘光了。下面重新总结一下求解的方法： 一、直接观察法： 这个方程可以直接通过观察做出因式分解，首先变号，方便进一步观察，之后直接进行因式分解得到形如的形式，之后完成求解、得到2个实根： ，从而得出两个根： 和 但是如果一元二次方程更复杂一些、或者不容易直接观察出可组合的因式，就需要使用更通用的方法了，常用的方法有：直接求根公式法、配方法、和韦达定理。 其中的直接求根公式本质上就是配方法的最终应用，所以如果记不住最终的求根公式，也可以用配方法重新推导一遍，从而得出最终的求根公式来。 二、借助SageMath法： 昨天试用计算器FX-991CNX也得出了上面方程的解，今天又试了一下使用SageMath进行求解，感觉都非常方便。使用SageMath求解截屏如下： 这里值得注意的是，如果方程式中使用的是字母“x”，就不需要第一句变量声明语句了，应该是sagemath会默认字母x、y、z等都是自变量。而我使用的是字母“t”，所以要额外的增加第一行，也就是声明一下字母t为未知自变量，如此就可以进行正确的语法解析，并完成求解。

今天基本将《普斯林顿微积分读本》从头到尾阅读完了一遍，只是粗略的阅读，如果接下来的时间允许，将会再次从头重新夯实一遍。 整本书一共是30章，其中第29章《体积、弧长和表面积》我并没有阅读：一方面是对这个话题不感兴趣；另一方面也可能是临近结尾，我总想着尽快将全书读完，所以有一些心浮气躁了。 这种“心浮气躁”也体现在对地28章、30章的阅读上，其中有很多的困惑，并没有花时间推敲、也没有动笔计算。只是看了几遍，大题感觉到推导或解决的过程，便草草结束了。 之所以比较着急，是因为我想着先完成“粗略学习”这个过程，然后返回头去再重新阅读一遍。所以接下来将重新学习这本教材，并且找一些练习题跟着做一做、练一练，争取将有关微积分入门的知识掌握下来。 我甚至都快忘记为什么要重读“微积分”这门课程了，之所以心血来潮地重学微积分，是有两个想做的视频话题中牵扯到了一些微积分的知识： 1、在模拟电路中，比较常见的微分电路和积分电路，为什么这些电路会被命名为微分电路和积分电路呢？ 2、在之前阅读有关Kilby的历史故事时，谈到他发明、创造的集成电路工艺，其中有一个初期电路中，涉及到了微分方程的求解。 所以我是因为上面两点，才重新回顾了一下微积分的话题，但是现在微积分看完了，上面两个话题当初是怎么读到、有什么困惑，现在似乎又忘记了……恐怕还要回过头再翻日记，才能回忆起来。

又花了几天的时间将第22章-26章阅读了几遍，确定的说应该是反复阅读了3遍。因为缺少例题、缺少实际的感性认知、缺少动笔，所以这5章的内容读起来不困难、但是却很难在头脑中勾勒出清晰的知识框架。总是有一种似懂非懂、囫囵吞枣地感觉。 之所以如此朦胧，我觉得上面提到的诸多原因是原因，此外还有一些原因： 首先是无论手中的电子版、还是纸质版，这几章的内容无论是从文字的表达上、还是翻译的质量上，都不如全书前面章节那么清晰。尤其一些表述，指代的非常含混。 另外一方面就是跳跃性实在有些大：既有某些基础知识是前面介绍的，又有很多没有的知识作者埋下伏笔要等后面学习之后才能明确。这样的反复跳跃导致阅读者思路难以连贯。 再加上这几章的计算式中数学符号和数字明显更多，对于业余学习数学的我而言有一些眼花缭乱。 总之这几章的学习只能说是“阅读完”，不能说是“掌握”。 好在眼见着整本书即将全部阅读完成，这至少给了我很大的成就感。等全书的“粗略学习”完成之后，可以再从头学习一遍、甚至两遍，这样应该能够夯实现在似懂非懂的知识。 其实在学习过程中也做了不少的笔记，但是始终没有时间和精力整理成博客文章。等到“二刷”这本书的时候，要将所有的笔记整理出来，这样应该会对自己的学习更有效果。现在有一些跃跃欲试，急不可耐了呢。

一口气将微积分的第15-19章全部阅读下来，整体感觉并不难，至少读起来不难。手中这本《普斯林顿微积分》应该说是入门教材，而且习题很少，所以相对来说阅读的十分轻松。 不过仍然能够感觉到：积分一定是比微分更难的，只不过因为我没有做题，所以从理解的角度上看，积分反而比微分容易了一些。 如果有习题，那么积分部分的例题肯定是困难的，主要原因在于积分并不像微分那么直观，任何一道积分的习题，估计都是需要通过观察以及大量的积累，才能快速的找到解题途径。否则无论怎么尝试，路径不对，都很难得到有效的简化途径完成解答。 但是我现在想的是尽快完成这本书的阅读，然后再返回头来做题，毕竟手中已经挤压了不少其他的书籍，这本“厚重的”图书不阅读完，其他图书就不敢翻开开始阅读。所以还是以读为主，至于例题呢，放到全书阅读完成之后，我想可以养成一个“每日一题”的习惯来做一做。 上面是15-19章的学习小结，但是似乎也没有“小结”出任何的内容来，主要原因是这些章节的内容在我看来都是“介绍性”的，一边阅读一边就了解了。并没有动笔计算，所以也就没有太多的困惑值得记录。 接下来的20章和21章似乎也是如此——有关反常积分的概念和具体的计算方式。所以依然没有花费太多的时间，只是一行行的阅读着就完成了两个章节的学习。 反常积分这两个章节我在阅读的时候还是有一些小困惑的： 1、反常积分在之前上学学习微积分的时候并没有学习，如今应该是第一次接触到。所以我的困惑就是这种“反常积分”计算，究竟是在什么样的应用领域中才会遇到呢？书上说工程上非常常见，但是因为自己没有相关的经验，所以并不了解具体的应用案例。 上网搜索了一下，看到一种比较常见的情况：在电磁学中，信号的发生通常是会形成震荡的，这个时候可以将这个震荡的信号看作是t区域∞的反常积分，通过计算可以知道这一信号从产生到∞的时间范围内，对整个电路系统产生的“能量”大小。从而评估出信号的稳定性。 2、另外一个困惑就是书上在介绍反常积分的时候提到：只要完成对积分结果是收敛还是发散的判定就可以了，而无需对具体的结果数值进行计算。 这又让我觉得有些困惑：既然都已经判定出收敛性了，为什么不继续计算，将最终的结果计算出来呢？也许是因为对于大多数反常积分，想计算出最终的结果比较困难么？依然是通过网络搜索找到一些可能的答案： 首先是的确可能计算困难，有些反常积分如果一定要计算出最终的收敛结果，可能需要用到留数定理、数值积分等更高级的数学工具，而在本科阶段的微积分课程中，这些数学工具还没有学习； 另外一方面，在工程应用上，完成反常积分的收敛性判定就可以得到期望的结果：物理量的收敛与否决定了系统的稳定性和可行性。完成这一步的判断就已经可以为工程进行指导，而无需关心最终的收敛数值结果。 无论如何，这两章也算是阅读完成了，看着手中这本教材逐渐变薄，心中还是十分喜悦的。

今天一天完成了微分章节的“第12章-第14章”的阅读，相比之前各个章节的阅读速度，这三章阅读起来显然是快了许多。但这并不能说明我的头脑已经适应了数学、只是因为这三章的内容比较少，相对容易阅读和理解。 第12章、绘制函数的图像 我在阅读这一章的时候，心中总是想着用sagemath能够方便的完成函数图像的绘制，所以有一些放松警惕，完全没有深入思考书中的每一个细节。实际上如果真想将一个函数准确的、正确的、按照书中的步骤绘制出来，恐怕对我而言还是非常难的。 第13章、最优化和线性化 这一章的内容相对来说是我比较感兴趣，觉得有意思、有趣的。它可以解决实际的问题，而且让我感受到利用导数寻找最优化数值的神奇。 第14章、洛必达法则及极限问题总结 这一章其实是分成两部分的。首先是对于一些极限表达式，如果符合洛必达法则的规则，便可以通过洛必达法则对其求解极限。第二部分则是对求极限问题的一个归纳和小结，将当前14章知识中所有可以用于求极限的手段进行了归纳。 其中洛必达法则作为常用的求极限手段，给出了若干的例题。我囫囵吞枣地跟着书上的内容看了一遍，但是既没有动笔动手跟着计算、也没有额外找来其它练习题自己进行独立推敲。 所以如果后期有时间了，我想这块内容还是要再花时间重新温故、稳固。 无论如何，今天感觉还是很开心的，终于将手中的这本微积分读物完成了50%的阅读。接下去将开始下半场旅程——继续后面积分部分的阅读和学习。

一、上一章遗留的一个小问题： 这一章整体阅读完成之后，算是将上一章遗留的困惑搞清楚了一些： 假设有一个可导函数 f ，它的导数总是正的，它的切线的斜率必定处处为正，故该函数不可能上下起伏，该函数一定是递增的。在第11章将证明这个事实。不管怎样，如果函数 f 总是递增的，那么它一定满足水平线检验。 第10章开始处的一段话 就是上面这句话，出现在第10章的开始处，我是读了好几遍也没有明白“这个事实”指的是“哪个事实”。所以索性就把这段文字中所有可能是“事实”的事情都先罗列出来吧： 1、如果可导函数 f 的导数是正的，该函数一定是递增的； 2、如果函数 f 总是递增的，那么它一定满足水平线检验。 而在第11.2章节中提到： 下面举一个罗尔定理应用的例子：假设有一个函数 f 满足 f’ (x) > 0 (对于所有的 x)，在 10.1.1 节中，我们断言该函数一定满足水平线检验。…