这里有2则对数法则，如果能直接背下来、就可以直接使用了： 对数法则3，乘积的对数，是对数的和： 对数法则4：商的对数，是对数的差： 但是我想具体学习一下他们两者的证明过程，这样对于记忆、背诵更有帮助（即便背不下来，也能通过实时推导想起来结论）。 一、试证明 ： 基础知识1：对数抽底公式， 基础知识2：指数法则， 首先通过抽底公式对欲证明等式两边分别进行抽底： 左边抽底： 右边添加底数，并利用指数法则变换，变换之后对拆分出的两项分别进行脱底： 由上面的左边抽底结果和右边抽底结果可见，两边相等，所以得证。 二、试证明 ： 同上面的乘积法则相似的，商法则也用要到同样的抽底公式和指数法则完成证明。首先对左边 添加底数b，以完成抽底过程： 待证等式右边的算式同样先添加底数b，之后逐步进行变换、简化： 待证等式左边、右边经过运算是相等的，所以待证等式是成立的，即： 成立，得证、证毕。

以前不知道形如这样的字体原来有个独立的字体名——黑板粗体。 在数学中经常会用到这些“空心字母”，如今知道了他们的名字叫“黑板粗体”，顾名思义就是老师在黑板上书写时的粗体文字。在黑板上写作，不像印刷文字那么标准，都是手写风格的，而手写时若想区分normal或者bold，就要比较醒目才能够区分，这样的“空心字母”正是手写时能够比较方便的进行粗体表示的方法，从而成为“黑板粗体”了。 在数学中，黑板粗体使用的比较频繁，例如对于各种不同的数域，习惯性的定义是： 表示自然数、表整数、表有理数、表示实数、则意味着是复数数域。 但是我一直不太理解，书籍上，也就是标准印刷物上，有必要使用“黑板粗体”么？既然都已经是标准印刷物了，大写英文字母的normal和bold应该是很容易区分、并且显著的，为什么还要特意使用“黑板粗体”呢？ 这个问题以前我一直不清楚、也没有机会找寻答案。因为对于这个困惑，我很难将自己的想法整理成一句标准的英文，然后去搜索、找寻答案。如今借助AI问答，我似乎是找到了一个由AI给我的回答，比较可信： 原因是：即便是印刷物，早期也不是由“高清打印机”排版打印出来的，而是使用打字机打印出来，再进行复印；或者是通过铅字排版油印出来的。而前者、也就是打字机并没有特意做“粗体”，为了打印出粗体效果，就要在需要打印粗体的文字上先打一下、然后使用退格回退车头、再打印一边。如此打印出来的加粗感觉的文字，并不是真的“粗重”，而是“重叠”看上去的最终效果还是“重影空心样式”。 而千字印刷使用的千字也是同样的道理，铅字本身是籍由工人手工制作，英文小写、大写手工取范很容易区分，但无论大小写，在一个字母的标准版、加粗版上，手工雕琢就很难做出显著的区别，所以用一个形态样式更明显的区分标志表示加粗显然就是更便于区分的技巧了。 所以在早期的书籍出版物上，即便是已进入工业时代，仍然习惯使用“黑板粗体”表示加重、加粗的文字。再进入电子时代之后，虽然印刷精度已经能够在印刷物上明显的区分normal和bold了，但数学行业已经养成了一个习惯——用黑板空心字表示粗体。进而直至今天，依然习惯使用诸如来表示自然数数域，这样的习惯已成为约定了。

以下笔记为个人学习“微分”时的笔记，比较啰嗦、凌乱，并且其中表述可能存在错误与不准确，个人观点、仅供参考。 一、因变量与自变量的比率： 试想有如下一个函数：，这里的函数名称是，自变量是，函数的计算结果命名为、并称这个结果为因变量。 也就是说当自变量发生变化的时候，整个函数式的结果、也就是因变量会随之产生变化。换言之，会随着的变动而变动。 如果自变量有了的变动，因变量则会联动的产生的变动。此时我们想知道自变量的这个变动会致使因变量产生多大程度的变动、这种联动是以什么程度传递的：是线性的、还是放大的、又或者只会引起很小的扰动、还或者几乎不会导致扰动？ 数学上可以用二者变化的比值权衡，也就是因变量受到自变量扰动的程度是。这样如果则意味着自变量的变化会线性影响因变量，如果则意味着自变量的变动会导致因变量产生100倍的放大。 上面提到的也好、也好，都是具体的情况，现实并非这样具体的数值，以这篇文章最开始的函数来看，它的因变量与自变量的比值计算结果是： 这时可以看到对于函数而言，当它的自变量变化一点点、因变量会联动着变化一点点。二者的变化比率计算出来是，也就是因变量的联动量，是，自变量的扰动量，的两倍，多一丢丢。把那一丢丢忽略掉，简化的、大约地说，因变量的联动量是自变量扰动量的两倍。 自变量在哪里开始进行扰动呢？没准儿，自变量可以在数轴上任何一个地方开始做起始点，进行扰动。而自变量在不同的轴坐标点上的扰动，的具体数值都会不同。所以在没有明确从哪点开始扰动时，并不是准确的数值，它只是一个新的函数，要等的起始点明确时、的数值才能明确。 在没有明确前，是个函数，具体而言就是。 假设在处，发生了的扰动，因变量则会产生的联动，而因变量与自变量各自的变动量的比值，为100.001倍，将一丢丢忽略掉之后，就是100倍，这与 当 时 是吻合的。 上面提到的在没有明确前，是一个函数式，这个函数称为“比率函数”。上面提到的当明确时，也就随之有了具体的数值，这个具体的数值，称为“比率”。所以是有两个不同的“阶段”的，比率函数阶段、比率数值阶段： 1、当处于比率函数阶段时，是个函数，描述了原函数因变量与自变量的比值的关系； 2、当处于比率数值阶段时，是个数值，描述了原函数因变量与自变量的比值； 上面两句话几乎完全一样，但是细细品味，第一句是个图像、第二句是个具体的数值结果。 二、微分系数，也就是导数名称的由来： 上面一直在用和表示很小，换种表示的方法，用和来表示，暂且认为只是表示形式上的替换，本质上没有差异。 事实上，这里应该是有着本质的差异的，前者是在表示“增量”，而者表示“极限增量”，前者更侧重于“增量的增”，后者侧重于“极限增量中的近乎于极限痕量”。甚至还有更深层的含义我尚未可知。但不重要，暂且认为二者没有区别，就是形式上的替换好了。 同时给这个或者替换之后的符号一个名称，称它为“微”，很贴切，就是“微小的微”。 这样，或者就可以念出来了，念做“微y比微x”，或者“微y除以微x”。尤其对于是分数形式的，所以这个整体上看就是“微分形式计算式”、简称“微分”。 前面已经计算过，现在用微分形式替换，写成，这其中的“比率函数”是前面商式的结果，做一些变换可以将这个“比率函数”看的更清楚一些： 这里的是“微y”前面的系数，更罗嗦地说它是“比例系数”，既然上面的式子已经改口叫“微分”了，那不妨将这个“比例系数”也改口称为“微分等式系数”，再简称为“微分系数”吧。可是即便将它简称为“微分系数”似乎还是有一些罗嗦的，这里再给它一个新的名称，称微分系数为“导数”。 显然，这一连串的重新命名可以原路啰里啰唆的说回去，“导数”就是之前提到的“比率”，所以和在用“比率”称呼它时是一样的，导数也是有两个阶段的： 导函数阶段，对应着上面提到的“比率函数”；导数阶段，对应着上面提到的“比率数值”阶段。但是通常不会区分导数和导函数，就都用“导数”来说，总之就是没有明确启示数值时，导数是个“函数”，明确了的数值时，导数就已经是一个明确的数值了。