题：求 心路历程： 首先最直观的，这道题中明显含有一些“算术级数的味道”，虽然因为分母的影响并不能直接形成求和级数，但仍然不影响给人的直观感受：。 而这个求和级数的显式表达式是 又恰与原题目中的各个独立计算项的分母同元同幂，所以便有了一个构造夹逼边界的思路。 解： 若将原题目中的各个独立计算项的分母全部调整成 ，则几乎所有计算项的分母都被放大了（只有最后一个表达式的分母没有被放大）；反之、若将所有分母都更改成 ，则几乎所有的分母都被缩小了（仅第一项分母没有被缩小）。 因为分母被放大，意味着整个分式变小了；反之，分母如果被缩小，意味着整个分式被放大了，因而可以得出不等式： 有： 经过上述的边界膨胀，得到的左边界和右边界，虽然还看不出对解题有利的结论，但至少得到的两个边界是可以各自完成合并计算的，合并之后的分子拥有显式表达、且显式表达与分母同元同幂，至此不妨按照这个感觉继续往后推导： 左侧： 右侧： 对如上得到的两个表达式分别计算 时的极限，容易得到其极限结果均为 ： 左侧： 左侧： 至此可依夹逼准则确定原题目问题的极限亦为 ，计算完成。

题： 设 （1）求证：数列 单调减少且有下界 （2）求 预备知识： 这道题中隐含着一个预备知识：算数-几何平均不等式（Arithmetic-Geometric Mean Inequality），简称AM-GM不等式。这个不等式的通式，是对于非负实数 ，有着AM-GM关系： AM-GM不等式： 题目中用到的是AM-GM不等式是当 时的特例： 对于AM-GM的通式推导我还没有掌握，但是对于如上的特例推导并不难，可以利用毕达哥拉斯公式完成证明。无论如何，这个AM-GM的预备知识暂时认为是已经掌握了的，由此基础，进行题目的解答。 解： 第一步：首先确定数列是有界、有下届的： 因为：，所以通过计算得出，但并不能因此就说。因而这里要使用数学归纳法进行证明： 1、当 时，显然 成立； 2、假设 ，证明 ： 显然成立，得到证明； 3、由数学归纳法可知 成立。 通过数学归纳法完成…