题：设 ，证明数列 发散 心路历程： 1、对于一个数列，如果是收敛的，那么如果将这个数列按照一定的间隔抽取出各个数项、构成的“子数列”也是收敛、且各个子数列具有相同的收敛目标的； 2、反之，如果各个子数列中有任意一个子数列不收敛、或收敛目标与其它子数列具有不同的收敛值，那么原始数列就不是收敛的； 3、观察题目中的计算式，明显有一个正弦因子，随着数列的增长，这个正弦因子明显存在着周期性，因而可以从这个特点着手，尝试解决问题。 证明： 将原始数列分拆成四个子数列，如下： 第一象限数列： 第二象限数列： 第三象限数列： 第四象限数列： 以上分割出来的四组子数列，全部收敛于相同值才能充分确保原数列收敛；有任意一个数列与原始数列不同收敛、或有任意两个子数列彼此不同时收敛，则均可以证明原始数列不收敛。因而只需使用第一象限数列和第四现象数列即可解决问题： 第一象限数列： 第四象限数列： 以上两个子数列，各自的正弦因子项，一个恒为1、另一个恒为0，因而可以分别进行简化，得到： 第一象限数列： 第四象限数列： 这时只需再考虑第一象限数列的计算式是否与零相等，因为是“结论早在心中”，因而现在想的就是它一定不是零。稍微动笔计算一下：。 至此可见抽取出来的子数列已经呈现出了不同的收敛趋势，因而原数列不收敛。 当然还可以更大胆的幻想一下：虽然没有对四个子数列全部考察、也没有更详尽的推敲，但原数列大概应该不是发散的、只是没有明确的收敛点，而是在一个范围内反复横跳、不断震荡的。无论如何，已经证明原数列确定是不收敛的。 至此，依题目要求，证明完成。

题：利用极限定义证明 证明： 和前面若干道关于“数列的极限证明”有显著区别的是：1、这个极限是趋于定值，因而要使用 语言完成证明；2、这是一个函数极限证明、而不是数列极限证明。 1、对于 ，需总能找到 ，使得当 时，满足 2、对于 ，需总能找到 ，使得当 时，满足 3、想直接找到 并不容易，不妨先指定 且存在不等式关系 4、对上面的不等式进行化简：，最终得到不等式关系： 5、注意到第4步的结果中恰恰含有 这个自变量趋于极限距离表达，此时只要设 ，就可以找到 6、当 ，也就是 时，利用第4步的逆推，可以看出 是成立的，因而可以确定对于 都能找到明确的 可被找到并设定 7、至此，依据极限的定义，任由 被给出，总有…

题：证明 不存在 心路历程： 这道题目并不难得出结论，而且结论是十分显而易见的：因为含有周期函数在表达式中、而且周期函数本身是存在过零点的，因而计算结果也会是一个周期函数，虽然结果的摆幅不固定、但是结果的周期性是一定的、而且也是随着表达式中的过零点同频过零的，因而显然这个数列的极限并不固定、因而极限也就不存在。 但是这道题的困难在于：要将上面的想法转换成数学语言进行描述。 可以考虑从原有的自变量数列 中抽取出两个“子数列”，令这两个子数列恰恰分别是摆动极值和过零值，这样两个子数列各自由自己的“极限”、”恒等零“、”发散“等各自的表现，而两个子数列各自的”极限结果“并不统一，从而证明出原数列没有极限。 证明过程： 根据极限的定义，当 时，若极限值存在，则所有从 中抽取的子数列的极限值应相等。若存在子数列极限值不同，则原函数极限不存在。考虑到原始表达式中含有正弦因子，因而构造其特定的相位所形成的数列： 从 这个数轴数列中，抽取出两个子数列，分别是： 数列1：，当 时， 数列2：，当 时， 上述数列1和数列2，都是从原数轴上取得到的点，并且两个子数列并无交叉、重复取样，因而两个子数列可分别用于完成数列极限的推演。 之所以取上面的两个子数列，主要考虑的是正弦波形上这些特征点的结果可以是恒为0、或恒为1的，有助于更快的得到结果。也可以使用其他相位角构造数列，但是上述2个数列会令后面的计算与分析，更加简单。 设：，则可以将数列极限转换成等价的函数极限： 对于有： 对于有： 整理上面的分析，最终得到： 由于函数在上述两个不同的极限目标时得到的结果不相同，因而原始数列的极限收敛也不是唯一的，因而原始数列极限不存在，完成证明。

题：设函数 ，计算 解： 这道题很简单，只要利用基本的运算法则一步步推导即可。 欲计算 因为 ，原式继续推导： 经过约分和展开，可以进行化简，得到最终的极限结果： 虽然上面的推导和计算看上去似乎是“顺理成章、自然而然”的，但是我还是有一点困惑：题目中还给出了关于的限定条件：，这个限定条件在上面的计算和推导过程中并没有用到，这显然是不正确、至少是不完善的。 所以我想还需要对这些限定条件推敲一下、它为什么会给出？要在那些推导细节处予以考虑？

题：求极限 解： 1、题目中给出的计算式中含有两个算术级数表达式，但是因为形式上并不是计算通式，所以无法进行后续的推导，所以首先要先写成求和通式形式： 2、经过进一步的化简可以得到更简约的极限计算式： 3、至此会发现得到的极限计算是一个 形式，无法得到确切的结果。既然当前是 ，那么就设法令其计算因子的位置从分子调整到分母（或从分母调整到分子）上，看一看是否能有改善： 根号内计算式分子、分母同时乘以 4、至此发现调整之后依然是 的形式，并没有得到任何改善，因而上述思路并不顺利。重新观察上述推算，发现在第二步中，有毕达哥拉斯的味道，因而考虑分子、分母同时乘以一个共轭形式： 即： 5、再对分子、分母约分，即可得到 的极限形式，这个形式是有利于完成极限运算的： 至此，计算完成。 额外的，对于这个问题的图形，用sagemath绘制 进行观察，可以发现它的收敛非常快，当 时基本就已经逼近到收敛点附近了。

题：求极限 心路历程： 1、这道题目乍看上去，直观的感觉结果是无穷大，但实际上计算得出的结果却是确定的、而并不是无穷大。至于为什么会有这种直觉与事实的偏差，要好好反思、总结一下； 2、题目中的极限是趋于“负无穷”的，这在实际计算、推导的时候需要注意。 解： 原式 = = = = = = 此时注意到 的取值是在负数、负无穷时刻的，因而有 继续推导 = = = = = = 这道题我之所以会觉得有些“不可思议”，是因为按照原式来看，其中只是两个多项式相加，并没有分数、即没有比值的概念，而结果的-50显然是一个“比值、比率”，因而可以断定原始的表达式含有着一个分数形式。虽然推导计算的时候的确构造出了这个分数，但是直观的想，却很难从原式中看出这个“分数”来。这是为什么呢？ 实际带入了一些数据发现，我对“极限”的理解是存在误区的：极限并不一定是“比值”，上面结论的-50就不是比值，而是差值：是原始的计算式中两个计算项的差异比较： 虽然看上去是一个“加法”运算，但是因为 是在负数轴上移动，因而实际上是两个计算式的减法运算。换言之，上面的全部计算可以变换成如下的结论： ，也就是 和…

题：求 心路历程： 这道题目的分子和分母在自变量趋于零时，同时趋于无穷小，因而无法利用运算法则直接完成推导与计算。考虑将分子或分母中的自变量约去，只保留分母或分子中的自变量。 然而直接进行约分并不可行，原因是分子中含有无理项，因而先尝试对分子进行有理化，看是否能够顺利将分子中的因数提取出来、从而与分母中形成公因数、完成约分操作，再进而观察后续计算是否能够得到简化。 解1： 1、首先对分子进行有里化： = = = = 2、经过一次分子有理化之后并没能得到公因数，但是显然的，分子只要再进行一次有理化就可以将分子中的根号消除了，所以不妨再继续进行分子有理化、以观察是否能够将问题简化： = = = 3、经过两次分子有理化之后，顺利的将分子中的根号消除，并且已经见到分子和分母存在着公因子，进行约分简化： = 4、此刻可以发现计算式已经不再是 类型，因而可以尝试进行极限运算： = = = = = = 至此，完成极限计算。 解2：使用洛必达法则 基于计算式推导进行极限的计算是比较劳累的事情，因为计算过程比较多、容易出错。相对简单的则是直接使用洛必达法则，也就是对分子和分母同时求导——分子、分母在逼近极限时，各自的收敛速度之比，与他们在逼近极限时，各自的速率变化之比，是相同的。…