M3WE·学习笔记

今天基本将《普斯林顿微积分读本》从头到尾阅读完了一遍，只是粗略的阅读，如果接下来的时间允许，将会再次从头重新夯实一遍。 整本书一共是30章，其中第29章《体积、弧长和表面积》我并没有阅读：一方面是对这个话题不感兴趣；另一方面也可能是临近结尾，我总想着尽快将全书读完，所以有一些心浮气躁了。 这种“心浮气躁”也体现在对地28章、30章的阅读上，其中有很多的困惑，并没有花时间推敲、也没有动笔计算。只是看了几遍，大题感觉到推导或解决的过程，便草草结束了。 之所以比较着急，是因为我想着先完成“粗略学习”这个过程，然后返回头去再重新阅读一遍。所以接下来将重新学习这本教材，并且找一些练习题跟着做一做、练一练，争取将有关微积分入门的知识掌握下来。 我甚至都快忘记为什么要重读“微积分”这门课程了，之所以心血来潮地重学微积分，是有两个想做的视频话题中牵扯到了一些微积分的知识： 1、在模拟电路中，比较常见的微分电路和积分电路，为什么这些电路会被命名为微分电路和积分电路呢？ 2、在之前阅读有关Kilby的历史故事时，谈到他发明、创造的集成电路工艺，其中有一个初期电路中，涉及到了微分方程的求解。 所以我是因为上面两点，才重新回顾了一下微积分的话题，但是现在微积分看完了，上面两个话题当初是怎么读到、有什么困惑，现在似乎又忘记了……恐怕还要回过头再翻日记，才能回忆起来。

又花了几天的时间将第22章-26章阅读了几遍，确定的说应该是反复阅读了3遍。因为缺少例题、缺少实际的感性认知、缺少动笔，所以这5章的内容读起来不困难、但是却很难在头脑中勾勒出清晰的知识框架。总是有一种似懂非懂、囫囵吞枣地感觉。 之所以如此朦胧，我觉得上面提到的诸多原因是原因，此外还有一些原因： 首先是无论手中的电子版、还是纸质版，这几章的内容无论是从文字的表达上、还是翻译的质量上，都不如全书前面章节那么清晰。尤其一些表述，指代的非常含混。 另外一方面就是跳跃性实在有些大：既有某些基础知识是前面介绍的，又有很多没有的知识作者埋下伏笔要等后面学习之后才能明确。这样的反复跳跃导致阅读者思路难以连贯。 再加上这几章的计算式中数学符号和数字明显更多，对于业余学习数学的我而言有一些眼花缭乱。 总之这几章的学习只能说是“阅读完”，不能说是“掌握”。 好在眼见着整本书即将全部阅读完成，这至少给了我很大的成就感。等全书的“粗略学习”完成之后，可以再从头学习一遍、甚至两遍，这样应该能够夯实现在似懂非懂的知识。 其实在学习过程中也做了不少的笔记，但是始终没有时间和精力整理成博客文章。等到“二刷”这本书的时候，要将所有的笔记整理出来，这样应该会对自己的学习更有效果。现在有一些跃跃欲试，急不可耐了呢。

一口气将微积分的第15-19章全部阅读下来，整体感觉并不难，至少读起来不难。手中这本《普斯林顿微积分》应该说是入门教材，而且习题很少，所以相对来说阅读的十分轻松。 不过仍然能够感觉到：积分一定是比微分更难的，只不过因为我没有做题，所以从理解的角度上看，积分反而比微分容易了一些。 如果有习题，那么积分部分的例题肯定是困难的，主要原因在于积分并不像微分那么直观，任何一道积分的习题，估计都是需要通过观察以及大量的积累，才能快速的找到解题途径。否则无论怎么尝试，路径不对，都很难得到有效的简化途径完成解答。 但是我现在想的是尽快完成这本书的阅读，然后再返回头来做题，毕竟手中已经挤压了不少其他的书籍，这本“厚重的”图书不阅读完，其他图书就不敢翻开开始阅读。所以还是以读为主，至于例题呢，放到全书阅读完成之后，我想可以养成一个“每日一题”的习惯来做一做。 上面是15-19章的学习小结，但是似乎也没有“小结”出任何的内容来，主要原因是这些章节的内容在我看来都是“介绍性”的，一边阅读一边就了解了。并没有动笔计算，所以也就没有太多的困惑值得记录。 接下来的20章和21章似乎也是如此——有关反常积分的概念和具体的计算方式。所以依然没有花费太多的时间，只是一行行的阅读着就完成了两个章节的学习。 反常积分这两个章节我在阅读的时候还是有一些小困惑的： 1、反常积分在之前上学学习微积分的时候并没有学习，如今应该是第一次接触到。所以我的困惑就是这种“反常积分”计算，究竟是在什么样的应用领域中才会遇到呢？书上说工程上非常常见，但是因为自己没有相关的经验，所以并不了解具体的应用案例。 上网搜索了一下，看到一种比较常见的情况：在电磁学中，信号的发生通常是会形成震荡的，这个时候可以将这个震荡的信号看作是t区域∞的反常积分，通过计算可以知道这一信号从产生到∞的时间范围内，对整个电路系统产生的“能量”大小。从而评估出信号的稳定性。 2、另外一个困惑就是书上在介绍反常积分的时候提到：只要完成对积分结果是收敛还是发散的判定就可以了，而无需对具体的结果数值进行计算。 这又让我觉得有些困惑：既然都已经判定出收敛性了，为什么不继续计算，将最终的结果计算出来呢？也许是因为对于大多数反常积分，想计算出最终的结果比较困难么？依然是通过网络搜索找到一些可能的答案： 首先是的确可能计算困难，有些反常积分如果一定要计算出最终的收敛结果，可能需要用到留数定理、数值积分等更高级的数学工具，而在本科阶段的微积分课程中，这些数学工具还没有学习； 另外一方面，在工程应用上，完成反常积分的收敛性判定就可以得到期望的结果：物理量的收敛与否决定了系统的稳定性和可行性。完成这一步的判断就已经可以为工程进行指导，而无需关心最终的收敛数值结果。 无论如何，这两章也算是阅读完成了，看着手中这本教材逐渐变薄，心中还是十分喜悦的。

今天一天完成了微分章节的“第12章-第14章”的阅读，相比之前各个章节的阅读速度，这三章阅读起来显然是快了许多。但这并不能说明我的头脑已经适应了数学、只是因为这三章的内容比较少，相对容易阅读和理解。 第12章、绘制函数的图像 我在阅读这一章的时候，心中总是想着用sagemath能够方便的完成函数图像的绘制，所以有一些放松警惕，完全没有深入思考书中的每一个细节。实际上如果真想将一个函数准确的、正确的、按照书中的步骤绘制出来，恐怕对我而言还是非常难的。 第13章、最优化和线性化 这一章的内容相对来说是我比较感兴趣，觉得有意思、有趣的。它可以解决实际的问题，而且让我感受到利用导数寻找最优化数值的神奇。 第14章、洛必达法则及极限问题总结 这一章其实是分成两部分的。首先是对于一些极限表达式，如果符合洛必达法则的规则，便可以通过洛必达法则对其求解极限。第二部分则是对求极限问题的一个归纳和小结，将当前14章知识中所有可以用于求极限的手段进行了归纳。 其中洛必达法则作为常用的求极限手段，给出了若干的例题。我囫囵吞枣地跟着书上的内容看了一遍，但是既没有动笔动手跟着计算、也没有额外找来其它练习题自己进行独立推敲。 所以如果后期有时间了，我想这块内容还是要再花时间重新温故、稳固。 无论如何，今天感觉还是很开心的，终于将手中的这本微积分读物完成了50%的阅读。接下去将开始下半场旅程——继续后面积分部分的阅读和学习。

一、上一章遗留的一个小问题： 这一章整体阅读完成之后，算是将上一章遗留的困惑搞清楚了一些： 假设有一个可导函数 f ，它的导数总是正的，它的切线的斜率必定处处为正，故该函数不可能上下起伏，该函数一定是递增的。在第11章将证明这个事实。不管怎样，如果函数 f 总是递增的，那么它一定满足水平线检验。 第10章开始处的一段话 就是上面这句话，出现在第10章的开始处，我是读了好几遍也没有明白“这个事实”指的是“哪个事实”。所以索性就把这段文字中所有可能是“事实”的事情都先罗列出来吧： 1、如果可导函数 f 的导数是正的，该函数一定是递增的； 2、如果函数 f 总是递增的，那么它一定满足水平线检验。 而在第11.2章节中提到： 下面举一个罗尔定理应用的例子：假设有一个函数 f 满足 f’ (x) > 0 (对于所有的 x)，在 10.1.1 节中，我们断言该函数一定满足水平线检验。…

间断了一些时日，终于将《第十章、反函数和三角函数》阅读完了。整体感觉这一章的内容远比前面第九章简单、少很多。所以只花了一周左右的时间就基本粗读完成了。 在阅读这一章的时候有几个比较明显的困难摆在我的面前：首先就是在函数的反函数为什么可以直接通过对原函数的x和y进行对调，就可以得到，这里花了不少的时间，直到现在我也是似懂非懂、一头雾水。 另外就是这一章其实我并没有从始至终阅读完成，其中有几个三角函数我并不了解。前面一些章节中也有类似的情况，当遇到正割、余割时，我都只是囫囵吞枣的看过去；然后在面对双曲函数的时候则是飞快地翻过去的。 如果今后有时间，或者更准确地说如果用到了吧，再学习这块知识。 这一章阅读的过程中，因为自己的电脑升级了、有了更好用的辅助工具，所以配合着软件、工具，也做了更多的上手尝试。这里有两篇这一章的学习笔记：反函数学习笔记（1）、反函数学习笔记（2）。 当完成第十章的阅读时，其实除了上面笔记中的问题，我还存在着另外一个困惑： 这一章的重点究竟在哪里？是在介绍三角函数么？这可是微积分教材呀！所以这一章的重点应该是在介绍：在已知一个函数的前提下，如何计算这个已知函数的反函数的导数。 罗嗦的解释一下就是：已知函数，不求它的反函数的显式形式、避开它反函数的显式定义，而直接求出这个反函数的导数来。这是我的困惑便产生了：既然是在讲解“函数的反函数求导”，为什么全章都在介绍各种三角函数、反复用各种三角函数去完成举例呢？ 它为什么不用多项式函数、指数函数、对数函数等举例，而非要一个个三角函数的拿出来，画出他们的反函数、找出这些反函数的导数呢？这有什么特殊的用意吗？或者，是否是因为反函数求导，更多的出现在三角函数领域中？ 我现在只能把这个困惑先放一放，姑且认为也许就是因为三角函数的反函数比较常见、特点比较鲜明吧。 无论如何，这一章阅读完成，接下去我将一鼓作气，尽快将这本书的前半部分——微分——阅读完成。

一、什么要在后面进行证明？ 这一章开始就有一句话是我始终无法理解的：“我们会在下一章证明这个事实”，这句话中的“这个事实”是什么呢？ 二、“一种方法”我理解不了 如截图所示，书中给出的对“正弦函数的反函数”进行求导，提到了使用“一种方法”，这个方法我现在理解不了、头脑一片混乱。 在稍微往前一点的章节中，作者用到的也是如上形式相同的方法进行某个函数的反函数求导，都是“这种方法”，我理解不了的原因主要在于： 1、有些绕脑子，无法理解为什么x和y彼此对调一下就能直接使用了；2、它没有个更正式的名称么？ 但是好在，我找到了“另一种方法”，更加容易理解。但是因为篇幅有限（使用LaTex在blog中排版实在太麻烦了，所以暂时就先做这样一个不伦不类的备忘，等到后期有时间了，再重新整理、补充上来吧）。 2.1、我似乎理解了作者的解法（update: 2024.10.09） 首先，作者使用的这个解法，正式的名称应该是“隐函数求导法”，具体的思路是：1、首先依据原函数，构建出它的反函数的“隐式形式”；2、然后不对“隐函数”进行整理、不得出它的“显式形式”；3、直接进行“隐函数求导”就可以了；4、最后再稍作整理，将其中的y值设法用x值表示出来。 我之所以无法理解它，主要是因为从原函数到反函数的变化过程、或者说反函数的定义过程，没有理解。例如： 原函数如果是：，如果想对这个原函数的反函数求导，首先就是要找到、或者定义出它的反函数来，但是要怎么定义它的反函数呢？直接通过下面的方法构建出来隐函数方程，并且不进行简化就可以了： 原函数： 反函数的隐式表达形式： 这就是隐函数，虽然没有得出一个显式的表达式，但是直接用这个隐函数求导就可以了。作者的解法我虽然理解了，但还是绕脑子、吃不透、无法顿悟，痛苦中。我想我最大的困惑就是为什么只需要将x和y对调一下位置，就可以定义出反函数来了？ 2.2、再次尝试理解反函数 原函数：，我换一种写法，将x写成“输入”、将y写成“输出”，看这样是否能够避开抽象的符号，让自己的头脑更清晰一些？ 原函数：，这个原始的函数的目的是：通过给定一个具体的输入值、经过某种映射关系，得到一个明确的输出值。 现在抛开x和y的想法，只是将上面的等式稍作调整、只是文字上的调整，调整成，不用关心文字细节的变化，他们本质上还是喂入一个具体的输入数值、经过同样的映射、得到经过映射之后的输出数值。 此时对于调整后的关系式：既可以说它的自变量是，经过正弦映射得到计算结果。也可以说自变量是，经过某种未知未解的映射关系，得到的结果将是。如果按照后面的说法来说，那么上面的关系式就变成了一个未解、待解的方程，需要求解出来，才能看出具体的映射关系来。 至此，如果不求解，那么上面的未解方程，就已经是一个隐式函数了；若能解出来，那么就是显式定义的函数。 2.3、适用于我自己的方法（其实这个方法也有个更准确的名称：基于反函数性质的求导法） 上面的“对调x和y其实我还是一头雾水”，先这样吧。接下来记录一下自己比较能够理解的方法。但是自己用的这个方法似乎也存在缺陷，在“教材”后面专门提到过，似乎是要注意f(r(x))和r(f(x))两种不同的嵌套关系中，一种是错误的、一种是正确的；我还没有时间详细推敲我所使用的这个建议的推导过程，是否正中了教材中明确指出的错误。 提问：已知正弦函数，求其反函数的导数。 解： 首先定义的反函数为，欲求。这里之所以不使用原因是相似符号太多眼睛容易花。 因为根据函数与反函数的特性，有…