电容跟随电压过程公式推导（1）
一、基尔霍夫电压定律： 在《电容电压跟随电源电压的过程》中给出了电容电压跟随恒定电源电压的公式，但是没有进行具体的推导过程。这个推导过程在参考文章里面有、不过比较简略。在具体推导时，正负号、常数项等细节容易产生错误，所以我还是想比较详细的记录一下推导过程。 首先根据基尔霍夫电压定律知道：沿着闭合回路所有器件两端的电势差（电压）的代数和等于零。也就是说： 在这个电路中有电池、电容、电阻，它们3个电子元件构成了闭合回路，其中电池升压、电容降压、电阻降压。 电容的压降，因为是“压降”，所以取负数。 电阻的压降，同样也是因为在电阻上电压也是“降压”，所以也是取负数。关于正负符号的选取，其实我现在还不是十分的肯定，只是因为参考文献中是这样写，所以就先“强行解释”，但具体的、本质的取负号原因，还要再进一步的推敲。 将以上3个公式合并之后，得到整个环路的基尔霍夫电压计算式。 经过电阻的电流（也是整个电路中的电流）I，这里用到了微分式。这里其实还有一个细节问题，可能需要额外的一篇blog进一步的推敲（为什么电容电压直接用Q/C，而无需加上微分项）。 再次带入，便得到了准备进行求解的方程，如上所示。 经过整理，可被整理成标准的微分方程形式。 此时可以看出来： 1、欲求解的就是Q(t)这个函数，它意味着随着时间t，电容器上积累的电荷量是多少，换言之，也就是随着时间t，电容器上的电压（Vc = Q/C）是多少； 2、虽然现在还没有解出Q(t)，但也能看出来Q(t)的变化率是随着t的变化而变化的； 二、推导、求出Q(t)方程： 下面开始具体的求解推导。首先对上式进行变换，得到： 将微分符号dQ(t)和dt分别放在等号的两边，这样便可以分别对左右两边进行积分。注意上面的公式中右边多出来一个负号，是因为在变换等式时，左边的分母中的两项位置进行了调换。之所以左边分母要进行前后项调换，目的是令左边在进行积分时是标准的ln积分式、以方便积分。 两边同时进行积分，左边是“ln积分”，右边是“幂积分”，都是简单形式的积分，可以直接得到结果。 因为两边都是不定积分，所以左、右都是有常数项的，将常量合并成1个、并暂定名K，放在等式右边。这里额外的还有一个困惑：为什么常数项要放在右边？如果将常数项K放在等式的左边，似乎会对最终的结果有影响？ 答：上面的“困惑”是不存在的，详见《这篇文章》。 去掉绝对值符号：推敲一下绝对值符号内部，会发现：这个为电容充电的过程，是电源将电荷给予到电容器上，而电容器始终不会“吐出”电荷，所以电源电量始终大于（最终时刻等于）电容电荷量，所以去掉绝对值符号时，绝对值符号内部的减法项要颠倒一下，才能确保正确的符号取值。 求出常量K的值：带入初始条件，开始t=0时刻，电容内电量为0，即Q(0)=0。 求出常量K的值。 将已求得的K值，带回Q(t)的方程中。如上得到一般方程。 将ln表达式合并到等式左侧。 ln表达式“外减”变换成“内除”（这里有没有更准确一些的数学表述呢？）。…
电容电压跟随电源电压的过程(2)
一、问题的提出 在上一篇博客《电容电压跟随电源电压的过程》中，基本搞清楚了电容的充电过程和放电过程电压的变化规律。但是它对我想了解的电路而言太基础了，根本无法指导我对当前电路的分析。 我更想搞清楚的是当电源为交流电时，电容电压的跟随情况，如下图所示： 图中的电源是100Hz的5V交流电，可以看到在电容上形成的电压的峰值（红线）略微低于5V，并且是滞后于电源电压的。这在网上已经有不少公式说明了它们之间的关系，但是却没有给出推导过程。 并且更为令我不安的，是这些现成的公式都是指电路进入“稳态”之后，而在上电的起始阶段，可以看出电容与电源之间的电压并不出现相位差。 所以在我想来，这个“现成的公式”是无法解答我的困惑的，所以这篇文章以及接下来的一段日子，我将尽可能搞清这个问题：电容电压是如何跟随交流电压的。 二、困扰 又陷入了“AI胡说”的困扰，这篇博客提出来的问题，我自认为问题定义的还是比较清晰的，但却找不到准确的文献。如果继续执着于利用搜索引擎或AI问答引擎，恐怕接下来要浪费的时间将是巨大的。 其实我觉得这个问题应该比较容易，它只是在解如下的方程： 这似乎没什么难度，但因为缺少相关的参考资料，所以我很难确定自己的推导过程每一步是否准确。尤其又因为我自己解出的答案，绘制成图形之后和预期的图形相差太远——因而可以确定我的求解是错误的。 有些不知该如何继续了。 三、找到了正确的计算公式、虽然并不完美 经过多次的搜索、查找，终于找到了一篇“正确的”参考资料： https://www.iitp.ac.in/~siva/2016/ee101/Sinusoidal_Steady_State_Analysis.pdf 之所以可以认为这篇参考资料是正确的，是因为基于这篇资料计算电容电压，绘制出来的电容电压的波形是准确的（相移角准确、电容可以得到的最大电压准确、并且是稳定持续输出的）： 这很不容易！我之前一个下午都在使用AI问答引擎找答案，结果给出来的各个计算公式都不正确。直到晚饭之后，都已经准备放弃了。但不甘心又找了一下，才找到上面这篇文档。 虽然这个文档给出的结论并不是我要的最终结论——它显然缺少系统上电的起始阶段的分析和曲线。但至少有了稳态之后的正确公式，可以先把后面的知识了解、掌握一下。 四、瞬态响应阶段和稳态阶段的完美波形 我感觉自己是找到“宝”了，上面的参考文档实际上是准确、完美的。只不过起初找到的时候没有细看，草草的照葫芦画瓢画了个初步的图形。细看之下，这篇文档实际上是含有初始瞬态响应阶段的分析的。按照最终的正确公式进行绘图，得到的图形正确、完美： 文档中给出来的推导公式也非常的简要明了。所以接下来只需要将文档中提及的公式好好学习、自行推导一遍，这一目的功课就应该算是完成了。 五、小节 1、其实上面的图形我完全可以在仿真软件里模拟出来，然后直接截屏就可以正常使用了。但是之所以纠结这个图形的产生过程，是因为我想搞清楚仿真软件中这个“电容电压跟随电源电压”的计算过程，究竟是怎样的； 2、如果不知道具体计算过程、不知道具体的推导过程，就很难理解为什么最终是RC的阻值、容值决定了它的相移。也无法自己利用SageMath绘制图形。不能自己绘制图形，就很难在博客文章或者“视频文章”中给出更详细的展现； 3、如今已经有了这个具体的“绘图公式”，我就可以按照自己之前的想法，绘制一系列的曲线，通过这些曲线说明为什么每一个RC网络可以实现(0°-90°)之间的相移、为什么必须需要至少3组RC网络才能形成180°的相移； 4、额外的，除了可以说明三组RC网络形成的180°相移外，还可以计算出最终反馈回去的电压有多少，与控制极的初始电压叠加之后形成的控制极电压波动有多大、进而推算出控制极的电流形成的开关效应，最终将Jack Kilby的RC Phase…
电容电压跟随电源电压的过程
一、问题的提出： 一颗有电且“满电”的电池，它的正极有着比负极更高的电势。 当将这颗“满电电池”的正负极通过导线连通时，通过电场力的作用，这条通路上的电子便会从低电势区域向高电势区域移动，目的是减小正负极之间的电势差，从而形成电子持续的定向移动，也就是电流。 因为这条导线是理想的、电池也是理想没有内阻的，所以电子的定向移动不会受到任何的阻碍，单位时间内通过导线横截面的电子数量可以无限多、电流无限大，只需近乎于0秒的时间，电池正负极的电势差就被拉成零、没有了电势差。 重新回到初始状态，在这条理想导线上加入一颗电阻，目的是阻碍电流的移动，使得导线上的电流不再是无限大，而是I=U/R，问：此种状态下，需要经过多少时间，电池的正负极电势差才能从U降低到0呢？ 二、初步讨论 上面的问题中，一直用的是“电池”，目的是让问题更感性一些。其实这篇文章主要聊的是电容，因为电池和电容基本相似、可以类比，所以上面一直用“电池”来做表述。但电池和电容本质上是有差异的，所以为了更加严谨一些，下面不再使用“电池”的称呼，而是用“电容”来继续讨论。 一旦系统接通，电池（电容）将开始进行放电，电流经过电阻做工，并且逐渐的电容内部的电压会降低、直至电容电压降低到0。这也是上面提出来的问题：要经过多久的时间，电容电压才会从初始电压（例如5V），降低到0V呢？这里有一个值得注意的事情：电容初始电压虽然是5V、在系统导通的起始时刻，流经电阻（100Ω）的电流是I=5V/100Ω=50mA，但是这个电流并非恒定不变的。 随着时间的推移，电容内部的电场强度（如果是电池、则可以理解成电量）会越来越低、电容的端电压也会随之下降，从而导致流经电阻的电流也会越来越小。这个过程是连续的——每一个当前时刻的电流都是上一个时刻的电容电压决定的。在没有仔细的推敲之前，不妨先随手胡乱的画一画它们随时间t的变化关系： 如上的若干图形都是肆意画出来的，只有大概的猜测、并没有任何的理论依据。大方向上而言，电容电压随时间的推移一定是越来越低的，但究竟是上面图中哪一种形式呢？如果花更多一些时间思考，似乎能从“电能密度”的角度上猜测出，上面的3个曲线中，最右边的曲线似乎是更贴近于真实情况的。但也只是猜测。 另外，我们最关心的“经过了多长时间，电容电压变为0”，在上面的图形中也是无法推敲出来的。虽然我们知道这个时间一定非常小，所以图中都是“拍着脑袋决定”，在0.01s的时候，电容电压就已经降低到0V了，但实际情况究竟应该是怎样一个时刻？所以接下来就要从数学的角度具体推算一下了。 三、具体数学推导 电容放电过程中的电压变化，可以从两个维度上考虑，分别是KVL和KCL两个角度，也就是考虑电容上的电压时时刻刻等于电阻上的电压、或电容上流出的电流时时刻刻等于电阻上流过的电流。这两种思考角度本质上是一样的，具体的推到过程由下面的两个参考资料中可以详尽的看明白： 1、以电压考虑，依据Kirchhoff’s voltage law (KVL)进行推导： 参考资料：https://web.mit.edu/sahughes/www/8.022/lec09.pdf 2、以电流考虑，依据Kirchhoff’s current law (KCL)进行推导： 参考资料：https://mechatrofice.com/circuits/charging-capacitor-derivation 3、额外的，一篇不错的科普概述文章： 参考资料：https://courses.lumenlearning.com/suny-physics/chapter/21-6-dc-circuits-containing-resistors-and-capacitors/ 这里直接给出最终的结论，电容上的电压随时间T的关系式是： 由此看出电容电压在数学上是永远不会等于0的，它只会越来越趋近于0。但是现实世界中，因为电路上的IC并非理想的、并且存在着热扰动，所以只要经过一段时间，电容趋近于0的电压就会因为一个“小的波动”而抵达X轴，从而时电压归零。…