《普林斯顿微积分》第8章学习备忘
这一章很简短，只有2个话题：如何进行隐函数求导、隐函数求导能够完成相关变化率的求解。这两个话题看的我是“一头雾水”，全都能够看懂、给出的例题也都会做，但其中的细节是没有一点儿能搞清楚的，总结就是这一章看的是“似懂非懂”。 一、隐函数求导： 1、什么是隐函数？这就是摆在我面前的第一个困惑，《普》几乎是很快就引入了隐函数求导的方法，而没有说明什么是“隐函数”，它是否是个更基础的、无需多说的知识呢？不得而知； 2、隐函数求导的具体过程。这一点对应着书中的§8.1，不费力气就看明白了。我在阅读这个章节的时候，对“链式求导法则”有了更豁然的理解，这个“豁然”要趁着现在还没有忘记、尽快花时间详细记录一下。否则一旦过段时间，很可能又会忘记掉； 3、具体的隐函数求导例题。没有什么难度，书中给出的例题都能跟着做出来。但诚如上面提到的，因为我不知道什么是“隐函数”，所以例题能做出来是没有意义的，原因在于：如果放在陌生的问题中，我可能很难一眼看出“这是一个隐函数”、“这里应该用隐函数求导去解决问题”； 4、隐函数求二阶导。同样的也可以将例题做出来，但是这里也存在着一个问题：我不理解二阶导的微分符号中，它的“分子”和“分母”中的上标位置区别的具体含义，或者说二阶导的上标符号具体是什么含义我不清楚。虽然能够隐约感觉到答案，但并不明确，所以这里也要再额外花时间推敲一下，形如下面的二阶导微分公式中，上标“2”的位置和具体含义： 二、相关变化率 1、§8.2章节是《相关变化率》的现实应用，以及利用隐函数求导方法求解。能知道说的是什么事情、能完成书中的例题的求解。 2、但是这些例题我自己却不会构建。不会自己构建例题说明自己完全不理解什么是“相关变化率”，不会自己构建例题意味着现实中即便遇到了“相关变化率”的问题或现象，也很难认识他们，知道他们，看得清他们，联想到使用隐函数求导的方式去解决他们； 3、相关变化率的具体概念要再花时间了解、学习。直到自己能够构建出例题、不费力气的就能信口举出例子、自己能够构建出应用场景和应用例题，才算是了解了这个话题。我现在能想到的比较感性的生活场景是人的吃饭、排泄，以及与体重的关系。这样一个生动的例子，如果能够随心所欲的构建出各类例子，并通过隐函数求导解决，应该就算是了解了。 三、小结 1、如上，就是这一章节的学习心得。可见这一章当前只是囫囵吞枣地阅读了、了解了，并不理解； 2、接下来将继续阅读第九章：指数函数和对数函数。
辗转相除法计算两个数的最大公约数
本来想做一个在线的一元二次方程求解小工具，但是真的上手操作才发现，想法很简单、实现起来很麻烦。所以我只好不断的简化需求，经过几次简化现在只能先完成对分数的化简操作，也就是在给定一个分数之后，对这个分数进行约分得到最简分数。 其中用到了一个求两数最大公约数的方法——辗转相除法。 实际上想计算两个数的最大公约数，有几种不同的方法，其中辗转相除法是相对容易理解、也比较容易通过程序实现的。 这里是最终完成的效果演示： https://www.m3we.com/mathtools/gcd.php?numerator=3334&denominator=12 即便是这个简单的功能，现在的演示也仍然不够完善、不够完美，还有很多需要进一步完善的地方。所以对于求解一元二次方程，短期内是难以实现的，只有一步步的先将这些基础环节做好，之后再做打算了。 update 2024.07.13 自己试了几个，发现还是存在bug的，例如下面这个计算过程，就是不正确的，原因还没有推敲，估计还要几天才能解决。 https://www.m3we.com/mathtools/gcd.php?numerator=333143543545.12&denominator=124.32 update 2024.07.14 18:51 已经找到了上面bug产生的原因，并且初步解决了。这里欠着一篇关于这个bug的记录，额外的又发现了一些新的问题，例如对于如下的分数，最后的表现也不尽人意，所以这个小工具还是有很多要改进的地方： 1、如果分子或分母中有符号，则在最终的结果中，应该将符号提取到整个分数的外面： https://www.m3we.com/mathtools/gcd.php?numerator=-333&denominator=33 2、如果分子和分母中同时有符号，虽然最后的结果是正确的，但是这只是计算的结果，与思维的过程实际上是不同的。正确的思维过程应该是先完成（增加一步预处理）变号操作： https://www.m3we.com/mathtools/gcd.php?numerator=-333&denominator=-33
一道有趣的几何题
从网上看到的，试着做了做，没有做出来。所以记录在这里，等以后有时间了再重新尝试。 这道题我用绘图工具重新绘制了一遍题目，用的绘图工具是一个web工具，地址如下： https://www.geogebra.org
《普林斯顿微积分读本》阅读备忘（2）
一、前六章学习小结 已经将第六章看完了，现在开始阅读第7章的内容。前六章的内容实际上讲解的非常缓慢，都是在介绍什么是极限、什么是导数、什么是微分。我阅读、理解的更慢，断断续续好几个月才看完。却至今还是没有十分明白。 什么是极限？ 极限是指某一个函数如，当自变量趋近于某一个定点时，这个函数的结果、也就是因变量将会趋近于的结果。极限是一个明确的结果、是一个明确的数值、是一个明确的“结果数值”。 什么是导数？ 导数和上面的极限不同，相对于“极限”而言，导数并不是一个明确的结果数值，而是因变量的变化量与自变量的变化量的比值，也就是当在某一个明确的点（如）上时，的比值。所以它是“比值”、而非“数值”。 什么是微分？ 微分是我仍然不理解的概念，上学时不理解、如今重学微分课程还是不理解。微分似乎既不像是上面的数值、也不像是上面的比值，微分什么都不是，微分只是一个“求导的过程”、“求导的方法”、“求导的思想”。微分是一种“细分思想”，利用这种“细分思想”或“微分思想”完成求导的思维方式。 同时，微分还是一个“符号”，使用“导数符号”表示的是比值结果，使用微分符号表现的是求出”比值“之前的”心路历程“。而且使用微分符号因为能够更多的展现出”求导的心路历程和动机目的“，所以在更复杂的求导过程中，利用微分符号可以更明确的将计算细节展现出来，进而使用各种”微分技巧“进行化简、转换、运算，以完成最终的求导、得到想要得出的比值来。 大概就是上面这个印象。也许还要再多花一些时间继续学习，才能有更透彻的理解。 二、额外的与模电联想 在模电中也经常会提到“微分电路”和“积分电路”，这里的两个名词具体含义也整理一下，也许过几天会用到。 微分电路：电路的输出信号与输入信号的导数成正比。换言之，微分电路输出的是输入信号的变化率。 积分电路：输出信号与输入信号的积分成正比。换言之，积分电路输出的是输入信号的累计值。 三、开始学习第七章的内容 接下来的第7章还是进一步对极限、导数、微分进行更多的例题讲解。只不过其中的例题都不再是多项式函数，而是三角函数。 大概翻看了一下后面的章节目录，后面的不同章节中，仍然是对极限、导数、微分进行更多的例题讲解，和第7章的大概方向是一样的，唯有不同的是，后面章节分别再对指数函数、对数函数、双曲函数……等进行求导、微分。 之所以简单的“极限、导数、微分”要如此一轮又一轮的重复，我猜也许是有如下2个原因： 1、不同的函数类型，微分思想虽然都是一样的，但用到的技巧各不相同，所以要区分讲解，从而不断地引入各种新的微分技巧或定理； 2、不同的工科应用领域中，用到的函数不同，例如在计算机行业中，也许就会经常用到三角函数、但很少用到双曲函数，所以不同专业的人可以有取舍的仅对自己行业频繁用到的函数类型进行微分思想练习。 如上是当前的学习小结。
《普林斯顿微积分读本》阅读备忘（1）
数学很差、差到高中数学都已经忘光、总要借助网络或计算器才能得到答案。最近读《普林斯顿微积分读本》，想提升一下自己的基础数学水平，并争取从头到尾将这本书读完。 断断续续看了两个多月，才刚看到§6.6。接下来将继续阅读§6.7-直接画出导函数的图像。 这篇文章目的是做一个之前阅读的备忘，否则过不了几天，也许又是狗熊掰棒子——把前面已经阅读过的内容忘记了。 一、前面章节主要讲的是什么？ 主要讲的应该都是高中的数学知识，属于从高中的代数、向着高等数学微积分入门课程的过渡，这个承上启下的“衔接部分”，主要讲了极限、导数的概念，并且通过一些例题解释了如何计算极限和导数。 在介绍导数的基本概念时，大概讲了讲导数的本质——在图像上某一点的导数，就是这一点上的斜线斜率，换言之就是这一点上的最佳线性逼近。 二、我现在还不理解的事情有哪些？ 主要是今天在阅读的时候，在“速度和加速度”章节上的“加速度为负数”例题上，有一个知识点不会：求解，或者说对于形如的方程如何求解。 书中只说用“因式分解”可以得到两个实根，并且其中一个是负数在例题的环境下应该舍弃。并没有具体的推导过程，显然是因为一元二次方程求解属于高中数学知识，显然便不展开了。但我已经忘光了，所以不会求解。只好用最笨的方法——观察法，找到了它的解。（幸好这个方程可以通过观察找出解来）。 update 2024.07.04：经过重温一元二次方程求解方法，大概知道了配方法和韦达定理，并且已经用配方法和它推导出的最终直接求根公式，完成了这部分的例题。 三、接下去要继续学习 以上就是最近的读书笔记，接下去，继续看：§6.7-直接画出导函数的图像。
解析函数例题1则
一、例题的出现 在《复变函数》最开始的部分，有一道例题，有如下两种表述方式： 例：证明：函数 在z=0点可导，且导数等于0。 或者另外一种表述方式： 例：讨论函数的可导性。 上面两种表述方式其实是一样的，针对的都是相同的函数，研究的课题也是一样的：求出它在点的导数。有趣的是，这两个表述方式都巧妙地避开了“不严谨”。 如果让我出这道题，也许会被写成：计算出的导函数，并求出的值。 按照我的设问方式，实际上也是可以正常进行这道题的求解的，但是“问法”相当于已经默认了这个复变函数是“处处可导”的了。上面的例题使用的设问方式就很“狡猾”，它们知道这个函数并非处处可导、只在时才可导，所以从最初的设问环节开始，就避开了“不严谨”的说法。 所以这道题按照例题的问法，至少应该从以下2个方面完成： 1、深刻的理解导数和导函数是什么，小心地求证原函数是否在指定的点处可导； 2、如果原函数并非处处可导，而只在部分区域上可求导。则要看题目要求的求导点是否在可导区间上（例如本例题要求在点得出导数值），在可求导区域内则进行求导、不在可求导区域内则不存在对应的导数。 二、函数可导、导函数的意义 个人理解：函数可导、有导函数，大意似乎是：这个函数连续、并且拥有连续的渐变光滑性，其中连续的渐变光滑性的意思就是他在图像上的每一个点上都有切线存在。 上面的说法如果正确的话，在实函数上是可以比较方便的通过图像理解的。但是对于复变函数而言，图像上理解起来有一些吃力。我还不知道如何通过图像去理解这个事情（图1、图2）。 例如下图1，就是相关复变函数的图像，从这个图像上能看出函数的确是连续的、并且是渐变的，如果它的导函数也是连续的、渐变的（所有的色彩过度都是渐变衔接），那么这个函数就是有导函数的。但是从图2来看，这个函数的导函数并不是在每一个区域都是渐变的，它只在所有的横坐标上有着渐变色彩，而在任何一个纵坐标的垂直线上，都是“固定单色”，不在拥有色彩的渐变性。因而大概猜测，这个函数的导函数是不存在的。 图像1：函数的图像 图像2：函数的图像 三、除z=0点外，其他地方不可导 “深色教材”的P17页就是上面的例题，但是我还是没有完全理解。整体意思就是它最终得出的结论就是，在除了z=0的点以外的地方，导函数的值都不存在极限，因而也就不可导。具体的求证过程如下： 已知函数 ，此时，由导数定义可知 情况1：当时，上式很容易看出来是趋于0的，所以极限存在、且是0； 情况2：当时，上式的极限将等于。此时第二项中的“分数”是多少呢？这里就要再展开详细的推敲一下，也就是产生了一个新的子问题： 子问题：已知，求 五、当时，求 上面已经将问题转成了新的问题，现在对这个新的问题进行推导。书上这个过程是非常简略的，但是我数学基础差、脑子也不好使，所以展开一点点的推导。…
专注于斐波那契数列研究的期刊
Fibonacci Quarterly是由Fibonacci Association主办的一本期刊，专注于对斐波那契数列（Fibonacci）及相关的数学领域进行研究。它的网站是：https://www.fq.math.ca/ 在它的网站上提供了从创刊的第1卷起，至第47卷（1963年-2009年）的全部电子版期刊，从48卷之后发布的期刊虽然不再提供全文、但也仍然会提供摘要版本。 我对斐波那契数列相关的数学知识并不感兴趣、工作中也几乎没有与之相关的工作，但是因为业余生活中比较喜欢看数学方面的科普文章，所以对这个数列知道一些有趣的故事。 斐波那契数列是由1202年斐波那契收集阿拉伯和希腊的数学研究资料、编撰整理出来的《算盘书》中一个有趣的“兔子问题”引申、发展出来的。在《算盘书》中，斐波那契提出了一个“兔子问题”：假定大兔子每月生一对小兔子，而小兔子经过两个月就可以长成大兔子，那么自拥有一对大兔子开始，一年后可以繁殖多少对兔子？ 上面这个兔子问题，如果绘制成表格： 从这个表格上可以看出来，无论是大兔子的数量、还是大兔子当月诞下的小兔子数量、还有每个月新长大的小兔子数量（从3月开始），都是相同的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…… 这个数列就是“斐波那契数列”，它从第三项开始，每一项都是前两项的和。如果用计算式表达，可以表示成：。 这个数列以及它的第n项的表达式，看上去都似乎平平无奇，然而如果要想将它的第n项表达式写成通项公式便不是那么简单的事情了。事实上，它的通项公式是自1202年斐波那契数列提出之后，经过了600多年、直到1843年才由法国数学家雅克·比奈（Jacques Philippe Marie Binet）归纳出来，因而这个通项公式被命名为Binet公式：。 Binet通项式有趣的地方有两个： 1、首先是一目了然的：它其中含有无理数，这实在是令人感到不可思议。一个简单的、完全由整数构成的数列，竟然需要使用无理数构造它的通项式。实际上也的确如此，如果不是引入了无理数，那么也不至于经历了600多年才被比奈归纳出来； 2、另一个有趣的事情可以看出来，当斐波那契数列趋于无限大之后，它的前后两项的比值趋于 。而这个比值恰恰是黄金分割比例0.618…… 斐波那契数列除了上面这些浅显的常识之外，还有很多重要的应用，无论是在计算机、密码学；还是在金融与经济学；又或者在物理和工程学上，都能见到它的身影。也正因为如此，回到本文开始提到的网站，才会有专门的这个专刊，定期刊发有关斐波那契数列的最新研究成果和消息。 update 2024.11.10 1、最近闲来无事阅读《数学史》，看到其中也有关于斐波那契的历史介绍。其中提到斐波那契生活的公元1200年左右恰是欧洲文明的“黑暗时期”，那时的欧洲非常荒芜、落后，并没有后来文艺复兴时期的辉煌璀璨。可以说是人类历史上的蒙昧时期； 2、前几天自己因为记不住牛顿二项式展开，所以手动推敲了一遍。其中也用到了一个数列，不过并非斐波那契数列、而是杨辉三角形。我因为以前并不知道斐波那契数列，所以误以为杨辉三角形就是斐波那契数列，今天才知道两个数量完全风马牛不相及。
经过三组RC网络相移之后的电压波动
本文尚未完成，内容还有错误，只当参考资料阅读。 一、问题的提出 有了前面的结论，可以知道电容电压跟随交流电源电压的关系，是满足下面的方程的： 1、这个方程中的 Vm / [(1+(wRC)^2)^(1/2)] 可以被视为A，这个A就是电容电压波形中的峰值。也就是说：在电源正弦的作用下，电容上的电压形成了一个新的正弦波（虽然并不是完整的正弦、起始瞬态略有畸变），这个新形成的“正弦波”的波峰是A； 2、方程中的-arctan(wRC)被视为相移角φ，也就是电容正弦错后于电源正弦的相移； 3、那么新的正弦波的频率呢？频率是不变的。它的频率是和电源频率相同的，只是波峰略低、相位略微向右偏移。 有了如上概念之后，就可以完成以下的两个问题的解答： 1、如何构建一个完美的60°相移，然后通过3组RC相移，完成180°的相移； 2、在进行了180°相移之后的第三组RC网络的输出电压，波峰是多大？也就是说最终反馈回控制极的电压有多少？ 这篇博客，将完成上面2个问题的计算和整理。 二、为了实现60°的单组RC相移，重新进行相关元件的参数设置 电源电压峰值：12V。之所以要将电源电压定义为12V，目的是与Jack Kilby的实验相符。在我阅读的相关书籍中提到，他在实验室中用12V直流电开始实验，并在示波器上看到了令人激动的振荡波型； 电源频率：暂定100Hz。之所以要定义成100Hz，是为了方便绘图观察。后期可以重新调整这个频率； 电容：1uF，也就是0.000001F； 电阻：之前我在仿真中是直接使用的1000Ω，现在按照相移角为60°进行计算，电阻应该使用2760Ω。这里还有一个额外的问题：为什么之前仿真中，电容使用1kΩ也可以正常振荡呢？这个问题需要以后有时间了，再深入推敲一下； 如上的基本参数就定义好了，按照上面定义的参数，进行绘图，然后进行仿真，看绘图计算结果与仿真结果是否一致。 三、三组RC相移之后的最终波形及电压 其实有了上面的计算依据之后，不画图也可以计算出经过3次RC相移之后的最终输出电压峰值是多大了。因为经过一组RC之后的电压峰值是A，所以经过3组RC之后的电压峰值是A的三次方。因而，如果电源电压的峰值时12V，那么： 经过第一组RC之后的电压将会是6V左右；第二组RC之后的电压将是3V；第三组之后的电压将是1.5V。也就是说最终反馈回控制极的电压的波动将在+1.5V ~ -1.5V之间。 下面是使用SageMath完成的画图，从只有电源电压开始、一条条的增加新的电容电压曲线。需要注意的是要忽略掉曲线开始瞬态部分的失真情况：…
数学家的故事——布尔
此文写于2017年12月29日。 真假话游戏您接触过吗？话说： 有甲、乙、丙三位精灵，其中一位永远说真话、一位永远说假话、还有一位随机地给出真话或假话。您可以向他们发问三条是非题，每条问题只能问一位精灵，最终推理出谁说真话、假话，谁是随机答话。而精灵们只会回复“嘀”或“嗒”，但你并不知道它们的意思，只知道其中一个字代表“对”，另外一个字代表“错”。该如何发问、如何推理？ 三个精灵真假话问题 上面这道有趣的逻辑推理，有时间不妨试算一下，不过我们今天并不是做推理游戏，而是要来说一说这些推理背后的故事。 上面的推理大家都知道叫做“逻辑推理”，但是该如何推理并不是所有人都了解的，只有学过逻辑学和布尔代数的人才能够进行解答。这其中的布尔代数，就是我们今天故事的主角。我们来八一八它的创立过程。 布尔代数，听名字您就能够猜到，它是根据一位名叫“布尔”的人来命名的运算体系，这个人全名“乔治·布尔”，是一名出生于英格兰的数学家。 乔治·布尔和很多有名的数学家不同，他不但没有接受过系统的数学训练、身为鞋匠之子的他甚至只有小学毕业而已。但鞋匠父亲恰巧也十分迷恋数学、并且布尔自己很努力，在父亲的帮助和自己的努力下，布尔通过自学在数学领域进行了自我深造。 在他17岁左右的时候，因为家庭原因，他必须要考虑工作，因而导致他连继续自学的时间都没有了。起初布尔考虑承袭父业做一名鞋匠、也考虑过做当地的牧师、还在当地的学校中做过兼职授课，不过最终他选择了自己创办一所学校，于是在1835年的时候，布尔创立了一所小学校，从此便以教书为生。 布尔创立自己的学校之前，因为有着很深的数学情节，所以业余时间继续以钻研数学为主。他在给学生们授课的同时，自己也在深入的研究当时主流的数学热点——微分、变分等知识。偶尔也会发表一些自己的论文，也正因如此，他并没有与主流数学界脱节，反而由此认识了更多数学界的专业学术人员。 随着布尔对逻辑学方面的深入研究，他在符号逻辑这一数学分支上的贡献也越来越多，终于在1849年被任命为爱尔兰皇后学院的数学教授。在经历了几年的教授生涯之后，布尔最终著作出版了《The Laws of Thought》。 这本书中最重要的贡献之一，正是布尔仿照代数运算创立出的一套逻辑运算体系，并以自己的名字命名——布尔代数。布尔代数看上去十分的简单，参与运算的数值只有两个：1或者0；所能进行的运算也只有三种：与、或、非。这套全部构成只有5个符号的数学，看上去如此的“迷你”，甚至有人怀疑它能否被称为一套体系。 事实上，布尔代数在提出之后也的确没有被主流数学界所重视，人们当时更认可的还是布尔在诸如微分方面的贡献。直到布尔逝世73年之后，一位名叫“克劳德·埃尔伍德·香农”的小伙子（详见《数学家的故事——香农》）无意中发现电子回路与继电器开关状态可以借助布尔代数来构建模型、还可以利用布尔代数进行电话交换机最优解的求解，从此才令布尔代数进入了主流数学界的视野。 布尔的成功不仅是他从鞋匠之子自学成为数学教授的励志过程，更多的，在我看来是他家庭和养育子女的成功。布尔在进入到爱尔兰皇后学院不久，碰到了一名美丽的、比自己小17岁的妙龄少女Mary Everest（可不要小瞧了这个女人，她后来也是一位非常有名的女数学家），并且很快确立了恋爱关系直至结婚。婚后他们生育了五个女儿，令人感到敬佩的是他们的5个女儿也巾帼不让须眉，各个都是有名有望的人。 如果您不爱好数学、而是偏爱文学，那么您是否读过经典文学《The Gadfly》呢？没有读过吗？这本书的中文译名叫《牛虻》，这本书的原作者可就是布尔老先生的小女儿Ethel Lilian！ 先不聊布尔的女儿、外孙这一大家子世界名人，暂且说回布尔的妻子，提到美丽的Mary，就不得不说到“布尔之死”了，Mary Everest虽然在数学上拥有着和布尔一样的天赋、而且在家庭教育方面也十分的杰出。然而她却有着和大多数数学家一样的木讷，学术的高智商也导致了她在某些方面无知到令人无奈…… 1864年11月底的一天，已经50岁的布尔老先生从家中步行去学校授课，那一天下着大雨，布尔傻乎乎的没有打伞就出门了（数学家都木的如此令人抓狂么？）。一路走到学校之后身上已经淋透，他就这样穿着湿透的衣服给学生们上课。 结果可想而知，回到家中的布尔生病、发起了高烧。更令人惋惜的是他那美丽、木讷的妻子坚持相信“以毒攻毒”的治病偏方，她让自己的丈夫躺在床上，然后就一桶桶的凉水直接倒灌在布尔身上，经过这么一折腾，布尔的病情加重、并最终于1864年12月8日，因肺炎引发积液而病故。 上文已经提到，在布尔去世后，布尔代数并没有继续被主流数学界所重视，直到73年之后香农的研究中依靠布尔代数来创建电路模型、再后来就是大家所熟知的，图灵提出了图灵机的理论概念、冯·诺依曼进而制造出了电子计算机、一路发展到乔布斯发布了iPhone…… 如此看来，我们今天能够使用电脑、上网、访问今日头条、Bilibili、甚至您在阅读这篇文章，想一想其中都有着乔治·布尔做出的贡献。
数学家的故事——卡尔丹
文章写于2017年12月28日。 如果设有x²+2x+1=0等式成立，让你来求解这个方程式中的x，想必多数人都能不费力的通过配方法使原方程转化为(x+1)²=0，进而推出x应该等于“-1”。 但对于x³+3x²=5这个方程，还有谁能尝试着解出x来么？经过一些努力和尝试，恐怕不少人都会放弃了吧？ 上面的两个方程，都只有一个未知数，所以都被称作“一元方程”。第一个方程中的未知数最高次幂是2，所以将它叫做“一元2次方程”；第二个方程相应的被称为“一元3次方程”。 二次方程对我们而言并不陌生，中学的时候就已经学习过二次方程的配方求解法，也就是将方程左边转化为一个完全平方、右边是一个常量，然后再利用开平方便可轻松求解。 但我们并没有学过三次方程的求解方法。事实上，三次方程的解法要比二次方程复杂许多、复杂到直至1545年前后，才被数学家们找到求解的方法。而在那之前，根本就没有人能解出一般形式的三次方程。 1545年，一本专论代数学的著作《大法》的出版，才使得人们知晓了三次方程的解法。 由此看来，我们真应该感谢《大法》一书的作者——哲罗姆·卡尔丹，似乎是他教会了我们三次方程的求解过程。 科学界的确给予了卡尔丹很大的肯定，以“卡尔丹公式”来命名了这个三次方程的求根过程。 然而，对卡尔丹的肯定恰恰是对另一位数学家的不公。没错，卡尔丹并不是“卡尔丹公式”的发明人，他不仅不是这一解法的创造者、甚至可能是个剽窃者，这一切都要从1494年说起…… 1494年，意大利方济各会的修道士帕西奥里（这个人来头可不小呢，他被视为现代会计之父，详见《数学家的故事——帕西奥里》一文）出版了一本《算术，几何，比，比例的摘要》，其中广泛的讨论了各种二次方程，然而却对三次方程只字未提。 原因是帕西奥里认为三次方程是不可求解的。他的这一观点显然不被当时的数学界所接受，当时有不少的数学家都在疯了心、玩了命、努力的尝试找寻三次方程的解法。这是数学家们的竞赛、是一场智者们的游戏。 大约在1505年，博洛尼亚的数学学会会长弗罗宣称找到了三次方程的解法。他虽然宣布找到了解法，却并未公开任何的求解过程。这种一厢情愿的宣布可不能记入史册，谁能担保他不是在吹牛？然而这却鼓舞了很多的数学家，大家更坚信三次方程是存在着求解方法的。 既然弗罗没有公开细节，那么大家就都还有机会继续这场竞赛。 受鼓舞的人中，有一名年轻的数学家，大家不喜欢叫他的名字，而喜欢叫他的外号“结巴先生”。 “结巴先生”认为数学会长不可能信口胡说，既然敢宣布，那么三次方程的解法就一定存在。于是“结巴先生”更加专心勤奋的研究。没用多久，“结巴先生”便也对外宣布自己找到了三次方程的解法。 有趣的是，“结巴先生”和弗罗一样没有将解法公开。此时你就知道本文开头那道三次方程想解出来有多难了吧？它曾经可是难倒过数不尽的数学家们呢。 “结巴先生”和弗罗都不公开细节，这下子其他的数学家们都不能开心地玩耍了。你们俩人都说拥有三次方程的解法、可又偏偏都不公开，这说出来不是骗鬼呢吗？ 虽说不公开核心解法的做法可以理解：毕竟持有核心算法的人能够在相关领域比别人研究的更深、走得更远。但谁又能证明他们真的有能力解开三次方程、三次方程真的是一个可求解问题呢？ 为了证明三次方程确实可求解，有人组织了一场“结巴先生”和弗罗的二人比赛，提出一些三次方程，看两人谁能给出正确的答案，又或者都能给出或都做不出来。 比赛在二人之间展开，结果稍稍出人意料：“结巴先生”轻松的胜出了这场比拼。这一结果令弗罗多少有些颜面扫地。 更重要的是，“结巴先生”用实际行动证明了确实有三次方程的解法。只不过大家还是不知道具体解法过程，因为“结巴先生”依然不愿意公开其推演过程。 若是“结巴先生”此时公开推演过程，不仅可以名利双收，同时也不会再有接下来的故事。可我们亲爱的“结巴先生”就是惜字如金，一个字也不愿多“说”。 这时本文的主角卡尔丹出场了。卡尔丹也是一位有名的数学家，他更为人们津津乐道的是他喜欢赌博，是一名善用“概率”的赌徒。 当时的卡尔丹对三次方程也十分着迷，进行了很长时间的研究。当卡尔丹听说了“结巴胜出”的消息时，便迫不及待的登门拜访，希望“结巴先生”能分享一些经验给自己。 结果可想而知，“惜字如金的结巴先生”直接拒绝了卡尔丹的请求，一丝一毫的信息都没有透露。 卡尔丹在遭到拒绝后并没有放弃，这位拥有着任何赌徒都有的执著性格的数学家，真的是执著到了偏执的境地，他几次三番的拜访、一次次的登门、大有不达目的决不罢休之势。…