在《RC震荡电路学习笔记(6)》中,已经了解了电容中的电流与电压相位相差90°的原因,并且也知道了一个简单的RC电路可以形成电压信号的相移,此时按道理说,就可以通过3组RC相移器构造出的180°相移网络做出振荡器来了。
并且还是依据上一篇文章中最后得到的频率计算公式,可以计算出最终的频率应该是:
滞后器网络:\(f = \frac{1}{2 \pi RC \sqrt{3}}\)
超前器网络:\(f = \frac{\sqrt{3}}{2 \pi RC}\)
然而事实上并不是上面这个计算得到的频率。上一篇文章中用于计算的只是“纯理论模型”,这个理论模型中的3组相移器是被假设成彼此孤立、不会相互影响的。然而实际电路并不是这种纯理想情况,实际电路中的三级相移器是彼此耦合在一起的,因而拿出任何一点考量,都会发现它并非单纯的RC电路,整个系统中的阻抗都会相互耦合作用到一起。
因而上一篇文章中的计算只是对RC相移网络的原理进行了解和讲解,并不能用于指导真实电路的设计和计算。
对于真实的电路,要使用传递函数进行分析,这个传递函数的定义是:\(Gi = \frac{M_{OUT}}{M_{IN}}\),我使用M意思是测量量,这个具体的测量通常是电压,也就是输出点对输入点的电压比视为电路的信号传递能力。在三级RC相移网络中,不考虑RC网络前级、后级更复杂的情况,仅对这个相移网络进行分析的话,容易得出:
整个网络的信号传递\(G = G_{H1} \cdot G_{H2} \cdot G_{H3}\)
现在仅以第一级传递进行考量:因为第一级RC环路中的电流处处相等,因而输出点的电压就是R和C的分压。后面的第二级、第三级也都是这样的情况,所以可以根据传递函数得到如下的传递计算式:\(G_1 = \frac{V_{out}}{V_{in}}, G_2 = \frac{V_{out2}}{V_{out}}, G_3 = \frac{V_{out3}}{V_{out2}}\)。
最终得到总的RC网络传递计算式:\(G_{TOTAL} = G_1 \cdot G_2 \cdot G_3\)
因为考量的是输入点和输出点电压,而电压等于电流与阻抗分压的乘积,电流在每一个环路中显然又是处处相等、满足基尔霍夫电流定律的,因而这个传递式最终的表达式便变成了对电路中阻抗的分析。
如果按照上一篇文章中的理想模型来看,传递函数将写成:\(G = \frac{1}{1+\frac{R}{Z_C}} \cdot \frac{1}{1+\frac{R}{Z_C}} \cdot \frac{1}{1+\frac{R}{Z_C}}\),这个模型不难求解,而且解出来的结果也是和上一篇文章最终得到的结论是一致的。
然而本篇文章已经明确了:在真实电路中由于各个IC的相互耦合引起了每一个考量点的阻抗的变化,因而上述传递函数最终变成了:\(G = \frac{1}{1+\frac{R}{Z_C \parallel Z_2}} \cdot \frac{1}{1+\frac{R}{Z_C\parallel Z_3}} \cdot \frac{1}{1+\frac{R}{Z_C}}\)。
也就是对于第一级、第二级的输出点位置上,并不是简单的串联点,而是与后级电路形成了并联关系。它的阻抗带入式是:\(G = \frac{1}{1+\frac{R}{Z_C \parallel (R+[Z_C \parallel (R+Z_C)])}} \cdot \frac{1}{1+\frac{R}{Z_C\parallel (R+Z_C)}} \cdot \frac{1}{1+\frac{R}{Z_C}}\)。
看上去并不复杂,实际计算那是相当困难的。至少我经过了先后四次手算都没能得到最终的正确结果。现在感觉这个代数计算很困难,隐约觉得在复数工具中应该有比较便捷的计算方式,所以我便又重新开始看复数方面的知识,期望能够找到关于上式的计算工具。
总之,它的计算结果是:\(G_s = \frac{1}{1+5R^2C^2s^2 + s(6RC+R^3C^3s^2)}\),此时为了方便后面的观察和分析,设 \(s = 0+j\omega, \tau=RC\),便可以将上述传递函数重新改写为:\(G_{\omega} = \frac{1}{1-5\tau ^2\omega^2 + j(6\tau \omega-\tau^3\omega^3)}\)。
至此传递方程所能体现出的相移能力就显现出来了,因为这三组RC相移网络完成的恰是180°的相移,因而它的虚部等于0,也就是\(6 \tau \omega – \tau^3\omega^3 = 0\)。这个虚部为0的物理客观,便构成了最终\(\omega = \frac{\sqrt{6}}{\tau}\)的结论。如此也就得到了真实电路(比上一篇理论电路真实、但依然是经过大幅度简化)的实际频率修正式。
但是注意到在更早之前的一篇笔记《RC振荡电路初学笔记(5)》中,对于实际的频率计算式还有更复杂的因素要考虑,当时我还在困惑是不是其中的哪一个频率计算式有错误,实际上两个计算式都是正确的,只是而一个式子是这篇文章已经得到了的,而那篇文章中的第二个计算式,显然是额外考虑了电路中其他的IC部分的耦合影响。
只是当前还没有学到。