这里是一篇备忘文章，用来记录两个电路：微分电路和积分电路。
上面是两个模拟电路的示意图，它们的名字分别是微分器（图1）和积分器（图2）。我想把这两个电路好好学习、了解一下。
微分电路和积分电路
以前上学的时候觉得所有的知识都挺容易理解的，现在也许是年龄大了，即便是对已经已经熟练掌握了的知识，再看的时候，都会感觉是“一头雾水”，唯有继续艰难的、一点点的重新理解，才能让自己感觉有所收获。
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在《RC震荡电路学习笔记（6）》中，已经了解了电容中的电流与电压相位相差90°的原因，并且也知道了一个简单的RC电路可以形成电压信号的相移，此时按道理说，就可以通过3组RC相移器构造出的180°相移网络做出振荡器来了。 并且还是依据上一篇文章中最后得到的频率计算公式，可以计算出最终的频率应该是： 滞后器网络： 超前器网络： 然而事实上并不是上面这个计算得到的频率。上一篇文章中用于计算的只是“纯理论模型”，这个理论模型中的3组相移器是被假设成彼此孤立、不会相互影响的。然而实际电路并不是这种纯理想情况，实际电路中的三级相移器是彼此耦合在一起的，因而拿出任何一点考量，都会发现它并非单纯的RC电路，整个系统中的阻抗都会相互耦合作用到一起。 因而上一篇文章中的计算只是对RC相移网络的原理进行了解和讲解，并不能用于指导真实电路的设计和计算。 对于真实的电路，要使用传递函数进行分析，这个传递函数的定义是：，我使用M意思是测量量，这个具体的测量通常是电压，也就是输出点对输入点的电压比视为电路的信号传递能力。在三级RC相移网络中，不考虑RC网络前级、后级更复杂的情况，仅对这个相移网络进行分析的话，容易得出： 整个网络的信号传递 现在仅以第一级传递进行考量：因为第一级RC环路中的电流处处相等，因而输出点的电压就是R和C的分压。后面的第二级、第三级也都是这样的情况，所以可以根据传递函数得到如下的传递计算式：。 最终得到总的RC网络传递计算式： 因为考量的是输入点和输出点电压，而电压等于电流与阻抗分压的乘积，电流在每一个环路中显然又是处处相等、满足基尔霍夫电流定律的，因而这个传递式最终的表达式便变成了对电路中阻抗的分析。 如果按照上一篇文章中的理想模型来看，传递函数将写成：，这个模型不难求解，而且解出来的结果也是和上一篇文章最终得到的结论是一致的。 然而本篇文章已经明确了：在真实电路中由于各个IC的相互耦合引起了每一个考量点的阻抗的变化，因而上述传递函数最终变成了：。 也就是对于第一级、第二级的输出点位置上，并不是简单的串联点，而是与后级电路形成了并联关系。它的阻抗带入式是：。 看上去并不复杂，实际计算那是相当困难的。至少我经过了先后四次手算都没能得到最终的正确结果。现在感觉这个代数计算很困难，隐约觉得在复数工具中应该有比较便捷的计算方式，所以我便又重新开始看复数方面的知识，期望能够找到关于上式的计算工具。 总之，它的计算结果是：，此时为了方便后面的观察和分析，设 ，便可以将上述传递函数重新改写为：。 至此传递方程所能体现出的相移能力就显现出来了，因为这三组RC相移网络完成的恰是180°的相移，因而它的虚部等于0，也就是。这个虚部为0的物理客观，便构成了最终的结论。如此也就得到了真实电路（比上一篇理论电路真实、但依然是经过大幅度简化）的实际频率修正式。 但是注意到在更早之前的一篇笔记《RC振荡电路初学笔记（5）》中，对于实际的频率计算式还有更复杂的因素要考虑，当时我还在困惑是不是其中的哪一个频率计算式有错误，实际上两个计算式都是正确的，只是而一个式子是这篇文章已经得到了的，而那篇文章中的第二个计算式，显然是额外考虑了电路中其他的IC部分的耦合影响。 只是当前还没有学到。
RC震荡电路学习笔记（6）
一、之前的学习笔记整理： 学习笔记 内容简述及收获心得 RC振荡电路初学笔记（1） 关于Jack·Kilby发明集成电路，并且这个电路是RC相移震荡电路的引子 RC振荡电路初学笔记（2） 关于Jack·Kilby发明集成电路的历史趣闻 RC振荡电路初学笔记（3） 罗列了几点RC相移电路中的个人困惑和备忘 RC振荡电路初学笔记（4） 对Jack·Kilby为什么使用PNP而非NPN做震荡电路做了些毫无根据的猜测 RC振荡电路初学笔记（5） 通过仿真软件对RC电路具体参数确定时的正确输出频率做了仿真 RC相移震荡电路学习历史笔记列表 二、电容电流超前于电容电压的原因： 书上的解释是：只有对电容器充电之后，电容器内部有了电荷，电容器两端才有电压，所以流过电容器的电流是超前于电压的。如上的这个表述我是万分的无法理解和接受，电流和电压是同时产生的，怎么可能有谁超前、谁滞后的说法呢？ 在物理世界中，电压与电流应该就是彼此同时产生、同时消失的，不会有电流超前于电压的“预知”能力（如果特别特别较真儿、我觉得也应该是先有电压才能驱动产生电流，但他们二者的因果时序近乎于瞬时，所以不能用可评估的时间去表述谁先谁后。所以无论如何也没有道理说出电流超前于电压这种话来）。更准确的表述应该是：电容器上的电压变化率引起了电容器上的电流产生，而电容器上的电压波形与电流波形在同个坐标系上比较，是相同的正弦波形，但相差着90°的相位差。 以最简单的一个理想电容器举例，图样就是一颗电容器画在纸面上： 这个时候电容器内部无论带有多少电荷，它的电荷量都不会随着时间发生变化，因而电容器上不会产生电流。当外部向电容器输入电荷、或者电容器向外部输出电荷时，随着电荷的增加或减小，电容器上同时的表现出了电压的波动和电流的产生。 因为电容器的电流 所以电流的波动和电压的波动是同时因为电荷的增减而同时引起的。 而又依然是通过上式可以看出来：在外部存在一个正弦电压施压在电容器上时，电容电压的变化频率就是电源电压的变化频率，所以电容电压 电容电流 此时就能看出来电容上的电压与电流相差90°的关系来了。 额外的，还可以用另一个更简单的解释来说明二者存在着90°的相位差。依然是通过观察电容器的电流 。能够想到的是其中的电压V是个正弦波形态，那么在这个波形的极值点上的导数是0，所以这些极值点时对应的电流就是0，而在x轴过零交点上的导数最大（变化率最大），因而过零点时刻的电流最大。 上面这个关系说明了：电压最大时（正、负极值）、电流最小；电压最小（电压=0v）时的电容器充放电流最大。这与物理常识并不矛盾。电压最大时，在dt时间范围内电压却不再发生变化，所以没有电压的变化就没有电流；过零点虽然电容器上不存在电压，但是这个时候却是外界对它施压最大的时刻，最大的电压当然会获得最大的电流。…
RC振荡电路初学笔记（5）
我放弃了基于PNP进行RC振荡电路的学习，原因是以PNP做核心放大的文章实在是太少了。网上全都是以NPN作为放大器进行介绍的，所以我也先按照NPN来学习。等到对振荡电路理解透彻之后，再推敲改成PNP后有什么区别吧。 1、之前电路图的错误： 首先是之前自己胡乱画出来的基于NPN的电路，严格来说都是错误的：RC反馈网络并不是如我之前画的那样需要3个去地电阻（这篇文章中的插图就是错误的，注1），而是只需要2个去地电阻；额外的还需要一颗串联电阻。所以正确的电路图今天依照《这份材料》实现。 2、频率的计算： 这个地方比较郁闷，因为对于这个电路而言，频率无论使用下面哪个公式进行计算，都是与实际仿真有较大差别的： 使用CircuitJS仿真结果是9.524KHz，使用LTSpice仿真结果是9482Hz。可以看到CircuitJS和LTSpice的计算结果是一致的，但与我的笔算结果都是相差很大的。这是什么原因呢？ 注1：其实也不能算是错误，因为网上也有其他材料中，反馈部分都是各自有各种各样的不同，所以估计也不是错误，只是自己还不理解其中每一个IC的作用，还要再花时间了解、学习。 注2：Jacob Millman和Arvin Grabel合著的《Microelectronics》一书中，应该是有比较详细的RC相移振荡器的介绍的，图书在这里 Microelectronics: Jacob Millman, Arvin Grabel 。可惜我手中其他基本别人著的《微电子电路》的图书中，都没有这个电路的详细讲解，有一些郁闷。 update 2024-11-11 时隔5个月，上面的问题终于有了一些小的进展。首先是完成了《RC振荡电路初学笔记（6）》的学习和学习笔记整理，其次是今天晚上终于搞清楚了频率的计算方法，不过还没有时间将今天的笔记整理出来。
RC振荡电路初学笔记（4）
想基于Jack Kilby的电路文档学习RC相移振荡器是有一定的难度的，主要是因为他当初设计的电路是基于PNP核心，而今天我所能找到的RC相移振荡器的文章，都是基于NPN为核心讨论。 所以我想应该先把基于NPN的RC相移振荡器了解一下，才有可能推敲出Jack Kilby的电路的工作原理。 一、题外话：为什么要用PNP而不用NPN？ 这里有一个额外的话题：为什么Jack Kilby要基于PNP做这个RC相移振荡器的集成电路呢？首先排除最不可能的原因：PNP在1958年的时候，没有NPN成熟。这个猜测是错误的，实际上晶体管从诞生之处，就是NPN先成熟起来，无论是制造工艺的成熟、尺寸的小巧、成本的低廉，都是NPN更胜一筹。所以没有道理不使用NPN。 那么Jack Kilby当年为什么不用NPN、而使用PNP呢？查资料，没有答案。各种资料随便整合到一起的猜测如下： 1、Jack Kilby进入TI实验室之后，并不是研究基于硅基片的晶体管工艺，他做的研究是基于锗基片进行生产； 2、Jack Kilby的工作，也许是只得到了PNP的研发权限，没有NPN的研发权限（这一点是猜测）； 3、Jack Kilby的发明研发工作，也许需要避免向其他技术科室索取硅基片或NPN技术（也是猜测）； 4、对于相同的电路模块，PNP电路也许在稳定性上不如NPN，但是从使用的IC数量上也许会少于NPN； 综上四点，也许就是Jack Kilby使用了PNP做核心元件的原因吧。 二、还是题外话：为什么NPN更优秀？ 无论上面的第一点是怎样的情况，在今天我都遇到了一个新的困惑：为什么我能找到的RC振荡器的教程，都是基于NPN的、而没有一篇是基于PNP进行阐述的？ 另外，从现在的结果上来看，似乎NPN更稳定，但究竟更稳定在哪里呢？ 三、基于NPN的RC相移网络振荡器 这里有一些问题，先罗列出来： 1、反馈网络的两种形式： 反馈网络既可以是电阻串联、上面并联电容器；也可以是电容串联、上面并联电阻器。通过仿真，我也尝试出了两种不同形式的电路。如下图所示： 值得注意的是，两种形式在通过RC网络计算输出频率时，使用的公式是不一样的。 电容串联时（常见形式）：…
经过三组RC网络相移之后的电压波动
本文尚未完成，内容还有错误，只当参考资料阅读。 一、问题的提出 有了前面的结论，可以知道电容电压跟随交流电源电压的关系，是满足下面的方程的： 1、这个方程中的 Vm / [(1+(wRC)^2)^(1/2)] 可以被视为A，这个A就是电容电压波形中的峰值。也就是说：在电源正弦的作用下，电容上的电压形成了一个新的正弦波（虽然并不是完整的正弦、起始瞬态略有畸变），这个新形成的“正弦波”的波峰是A； 2、方程中的-arctan(wRC)被视为相移角φ，也就是电容正弦错后于电源正弦的相移； 3、那么新的正弦波的频率呢？频率是不变的。它的频率是和电源频率相同的，只是波峰略低、相位略微向右偏移。 有了如上概念之后，就可以完成以下的两个问题的解答： 1、如何构建一个完美的60°相移，然后通过3组RC相移，完成180°的相移； 2、在进行了180°相移之后的第三组RC网络的输出电压，波峰是多大？也就是说最终反馈回控制极的电压有多少？ 这篇博客，将完成上面2个问题的计算和整理。 二、为了实现60°的单组RC相移，重新进行相关元件的参数设置 电源电压峰值：12V。之所以要将电源电压定义为12V，目的是与Jack Kilby的实验相符。在我阅读的相关书籍中提到，他在实验室中用12V直流电开始实验，并在示波器上看到了令人激动的振荡波型； 电源频率：暂定100Hz。之所以要定义成100Hz，是为了方便绘图观察。后期可以重新调整这个频率； 电容：1uF，也就是0.000001F； 电阻：之前我在仿真中是直接使用的1000Ω，现在按照相移角为60°进行计算，电阻应该使用2760Ω。这里还有一个额外的问题：为什么之前仿真中，电容使用1kΩ也可以正常振荡呢？这个问题需要以后有时间了，再深入推敲一下； 如上的基本参数就定义好了，按照上面定义的参数，进行绘图，然后进行仿真，看绘图计算结果与仿真结果是否一致。 三、三组RC相移之后的最终波形及电压 其实有了上面的计算依据之后，不画图也可以计算出经过3次RC相移之后的最终输出电压峰值是多大了。因为经过一组RC之后的电压峰值是A，所以经过3组RC之后的电压峰值是A的三次方。因而，如果电源电压的峰值时12V，那么： 经过第一组RC之后的电压将会是6V左右；第二组RC之后的电压将是3V；第三组之后的电压将是1.5V。也就是说最终反馈回控制极的电压的波动将在+1.5V ~ -1.5V之间。 下面是使用SageMath完成的画图，从只有电源电压开始、一条条的增加新的电容电压曲线。需要注意的是要忽略掉曲线开始瞬态部分的失真情况：…
RC振荡电路初学笔记（3）
这是一篇临时的备忘文章，主要是将最近几天对RC振荡器的学习进展做一个简单的罗列。虽然已经花了不少时间在这个电路上，但是我对这个电路的细节还有很多的欠缺。好在最令我困惑的几个问题，已经基本搞清楚了： 1、在这个振荡电路中，使用相移器的目的是什么？ 答：这个问题我现在“隐约”有了答案，但是还需要对当前的认知进行更深入的学习，以便从数学公式上对相关的“相移量”有个更加准确的认识、并且要能通过参数计算出具体的结果。尤其是我现在所初步感受到的“电容电压跟随源电压”，它的跟随程度和如何控制，要学会具体的计算过程； 2、为什么要使用3组RC相移网络？ 答：这个问题现在我已经可以通过画图的方法得出答案了。这个问题的答案的得来对我而言十分的不易：自己既没有夯实的基础知识、网络上又没有比较明确的答案。幸好最后自己想出了答案。虽然暂时没有办法印证我当前的答案是否标准、正确，但感觉应该基本是靠谱的。为了让答案更容易理解，这个知识点要配合一些画图才能完成。所以接下来将学习使用SageMath将相关的正弦波形绘制出来； 3、电容的容抗的本质是什么？ 答：还没有搞清楚； 4、NPN为什么是电流控制型元件？ 答：这个问题似乎也有了一个初步的答案。不过也还没有将答案从头梳理、逐一印证。所以还需要一定的时间完成这部分知识的整理、证实。并且在确定自己的想法就是书本上表述的意思之后，整理成博客文章，发在这个系列文集之中。 5、我当前绘制的RC相移振荡器电路，起振阶段的工作原理是怎样的？ 答：不确定，不了解。因为我现在使用的2款仿真软件对于起振阶段的仿真并不相同，所以也说不清哪一个软件的起振阶段描述是准确的。因为无法确定哪一个表现准确，也就无法去“打哪儿指哪儿”的想它的起振过程。所以这个起振阶段的起振过程，还要再花时间推敲； 6、我当前绘制的RC相移振荡器电路，是否真实、准确？ 答：这是相比Jack Kilby的论文而言的。他的论文中对于RC相移部分使用了一个很简略的画法。现在不确定他的简略画法是：a、一坨电容覆盖在一坨电阻上面，就是与3组RC网络等效的；b、其实简略画法要展开成3组RC网络才可以；c、在他的真实电路实现内部，还有其它未知的细节；以上哪种情况呢？ 以上，就是现在我对RC相移振荡器的学习进展。如此看来，已经学习过的内容还没有整理成文章、大体了解了的内容还没有深入探究、尚未了解的内容还有很多……如此看来，这个系列的学习工作，还是有很多事情要继续的。