一、基尔霍夫电压定律：
在《电容电压跟随电源电压的过程》中给出了电容电压跟随恒定电源电压的公式，但是没有进行具体的推导过程。这个推导过程在参考文章里面有、不过比较简略。在具体推导时，正负号、常数项等细节容易产生错误，所以我还是想比较详细的记录一下推导过程。
\(\sum V = 0\)首先根据基尔霍夫电压定律知道：沿着闭合回路所有器件两端的电势差（电压）的代数和等于零。也就是说：
\(\sum V = V_B + V_C + V_R = 0\)在这个电路中有电池、电容、电阻，它们3个电子元件构成了闭合回路，其中电池升压、电容降压、电阻降压。
\( V_C = -\frac{Q(t)}{C}\)电容的压降，因为是“压降”，所以取负数。
\( V_R = -I \times R \)电阻的压降，同样也是因为在电阻上电压也是“降压”，所以也是取负数。关于正负符号的选取，其实我现在还不是十分的肯定，只是因为参考文献中是这样写，所以就先“强行解释”，但具体的、本质的取负号原因，还要再进一步的推敲。
\(\sum V = V_B + V_C + V_R = V_B -\frac{Q(t)}{C} -I \times R = 0 \)将以上3个公式合并之后，得到整个环路的基尔霍夫电压计算式。
\( I = \frac{dQ(t)}{dt} \)经过电阻的电流（也是整个电路中的电流）I，这里用到了微分式。这里其实还有一个细节问题，可能需要额外的一篇blog进一步的推敲（为什么电容电压直接用Q/C，而无需加上微分项）。
\( V_B -\frac{Q(t)}{C} – \frac{dQ(t)}{dt} \times R = 0 \)再次带入，便得到了准备进行求解的方程，如上所示。
\( \frac{dQ(t)}{dt} = \frac{V_B}{R} – \frac{Q(t)}{R \times C} \)经过整理，可被整理成标准的微分方程形式。
此时可以看出来：
1、欲求解的就是Q(t)这个函数，它意味着随着时间t，电容器上积累的电荷量是多少，换言之，也就是随着时间t，电容器上的电压（Vc = Q/C）是多少；
2、虽然现在还没有解出Q(t)，但也能看出来Q(t)的变化率是随着t的变化而变化的；
二、推导、求出Q(t)方程：
下面开始具体的求解推导。首先对上式进行变换，得到：
\( \frac{dQ(t)}{ Q(t) – V_B \times C} = – \frac{dt}{R \times C} \)将微分符号dQ(t)和dt分别放在等号的两边，这样便可以分别对左右两边进行积分。注意上面的公式中右边多出来一个负号，是因为在变换等式时，左边的分母中的两项位置进行了调换。之所以左边分母要进行前后项调换，目的是令左边在进行积分时是标准的ln积分式、以方便积分。
\( \int \frac{dQ(t)}{Q(t) – V_B \times C} = – \int \frac{dt}{R \times C} \)两边同时进行积分，左边是“ln积分”，右边是“幂积分”，都是简单形式的积分，可以直接得到结果。
\( ln | Q(t) – V_B \times C | = – \frac {t}{R \times C} + K\)因为两边都是不定积分，所以左、右都是有常数项的，将常量合并成1个、并暂定名K，放在等式右边。这里额外的还有一个困惑：为什么常数项要放在右边？如果将常数项K放在等式的左边，似乎会对最终的结果有影响？
答：上面的“困惑”是不存在的，详见《这篇文章》。
\( ln ( V_B \times C – Q(t) ) = – \frac {t}{R \times C} + K\)去掉绝对值符号：推敲一下绝对值符号内部，会发现：这个为电容充电的过程，是电源将电荷给予到电容器上，而电容器始终不会“吐出”电荷，所以电源电量始终大于（最终时刻等于）电容电荷量，所以去掉绝对值符号时，绝对值符号内部的减法项要颠倒一下，才能确保正确的符号取值。
\( ln ( V_B \times C – Q(0) ) = – \frac {0}{R \times C} + K\)求出常量K的值：带入初始条件，开始t=0时刻，电容内电量为0，即Q(0)=0。
\(K = ln (V_B \times C) \)求出常量K的值。
\(ln (V_B \times C – Q(t)) = – \frac {t}{R \times C} + ln (V_B \times C)\)将已求得的K值，带回Q(t)的方程中。如上得到一般方程。
\( ln (V_B \times C – Q(t)) – ln (V_B \times C) = – \frac {t}{R \times C} \)将ln表达式合并到等式左侧。
\(ln \frac{V_B \times C – Q(t) }{V_B \times C} = – \frac {t}{R \times C}\)ln表达式“外减”变换成“内除”（这里有没有更准确一些的数学表述呢？）。
\(e ^{ln \frac{V_B \times C – Q(t)}{V_B \times C}} = e ^ { – \frac {t}{R \times C}}\)等式两边同时“加底抽指”，目的是（这里缺少进一步的目的说明）
\( \frac{V_B \times C – Q(t)}{V_B \times C} = e ^ {\frac {-t}{R \times C}} \)等式左边化简、最终得到上面的公式。
最后，再将Q(t)孤立出来：
\( Q(t) = V_B \times C \times (1 – e^{\frac{-t}{R \times C}}) \)如上得到最终的方程解。
\( V_C(t) = V_B \times (1 – e^{\frac{-t}{R \times C}}) \)等式两边同时除以电容C，便可以得到电容电压Vc关于时间t的方程。
假设电源电压为12V，电容容值为1法拉，电阻假设为1000欧姆，带入上式并绘制图像：
\(V_B(t) = 12\) \(V_C(t) = 12 \times (1 – e^{- \frac{t}{1000 \times 1}})\)plot(Vb, 0, 10000) + plot(Vc, 0, 10000)
从图像中可以看到当电路闭合之后，电容会以很快的速度被充电，随着电容电势逐渐建立、并趋于电源电势时，充电逐渐缓慢下来，并且会愈发的逼近于电源电势。
在理想的情况下，电容电压只会无限的接近于电源电势，而不会抵达电源电势。但是在实际的现实情况下，因为环境的热扰动，电源并不会真的一直是12V稳定、持续的存在，电源的12V电压在各种环境热扰动下总会出现小的波动，这些小的波动足以令电容电压与电源电压产生交点，从而完成电容最终的充电。
另：最近再看有关量子力学的入门介绍，如果能量是量子态的，那么上面提到的“无限逼近”在更细分的尺度上就也不会是连续的，而是变成量子化的，那么即便没有热扰动，在足够的细分情况和足够的等待时间之后，电池向电容充电的最后时刻，也会因为能量的不连续而“一份份”的想电容供给最后的能量，使得在最终时刻、总有那么一个最终时刻，电容上的电压会从“无限逼近”通过一份“量子化能量”，“跳变”到与电源电压一致。
三、回路中的电流随时间t的变化关系：
因为电源电压始终是12V，而电容电压Vc(t)已经解出来了，此时电阻上的压降便可以求出来；
同时，电阻上的电压与电阻的比值是电流，而又根据闭合回路电流处处相等，可知电容上的电流等于电阻上的电流，电容上的电流可以用电容电流计算式得到，所以有如下等式成立：
\( I_R = I_C \)再进一步的考虑：
\(I_R = \frac{V_R}{R} = \frac{(V_B-V_C)}{R}\) \(I_C = \frac{dQ(t)}{dt}\)综合上面3个等式，可以得到如下的等式：
\( \frac{(V_B-V_C)}{R} = \frac{dQ(t)}{dt} \)上面的等式的成立性证明暂时先不证明了。只先完成电流关系式的确定。也就是进行微分计算：
\(\frac{dQ(t)}{dt} = \frac{d}{dt} (V_B \times C \times (1-e^{\frac{-t}{R \times C}}))\) \( = V_B \times C \times \frac{d}{dt} (1-e^{\frac{-t}{R \times C}})\) \( = I(t) = \frac{V_B}{R} \times e^{\frac{-t}{R \times C}}\)最后，依然以电阻R=1000Ω、电容C=1F、电源电压为12V进行绘图，得到电路中的电流图像：
可以看出这个电路中，初始电流是最大的，这是显然的——因为电容起初是“空的”，会以最快的速度吞噬能量。随着电容内电荷的聚集，电路中的电流会逐渐减小，待电容被充满电之后，电路中将不在有电流通过。
在直流电路中，电容充电阶段会产生电流，在电容满电之后就相当于“断路”不再有电流。从而说明了电容“隔直通交”中的“隔直”过程的形成过程。
