一、我的困惑和不解 函数的图像如下，显然的，在原点处是没有这个函数的切线的。但这里“显然”似乎又不是那么“显然”，切线究竟是什么呢？对于在平面上的曲线的切线，历史上有过多种定义方式，现今对切线的定义与莱布尼茨给出的定义表述是一致的，都是利用极限的思想对切线进行定义。 对于曲线S上的某一点A，在A点外做另一个同样落在曲线S上的点B，这样AB可以构成一条直线L，这条直线L可以称为曲线S的割线。 当B点沿曲线移动、并逐渐向A点接近，也就是B沿曲线S像A点逼近，当时，得到的割线便是经过A点的曲线的切线。 上面的定义本来能够解答下面这个图象的疑问：为什么在图像的原点处，没有切线呢？答：因为如果设原点处为A，可以从图像上看出来，B点在左边和B点在右边两种情况下，当时，得到的“极限L线”不一致，所以原点、也就是A点处的切线是不存在的。 但是上面这个答案、或者说解释，以我现在的数学水平，是无法“透彻理解”的。原因在于： 1、我为什么不能说这一点上有2条切线？为什么偏偏要说这一点上的切线不存在？难道图像上任何一点只能最多只有一条切线吗？ 2、并不是，而直线既然是通过A和B两点定义的，那么在时就不是严格的，此时通过极限得到的与时得到的就一定是一样的吗？这里额外的又回到了上面的问题：没有2个点，怎么定义出的直线呢？ 不想了，想多了脑袋痛。我觉得想通过“极限”定义出切线，也许还有其他基础知识需要学习。换句话说，我隐约感觉：或者是我的学习脉络不正确；或者是这个定义的脉络不正确。也许应该先有导数的定义，有了导数的定义就有了斜率的概念、有了斜率和点A，就可以通过直线的另一个定义方式——点斜式——定义出直线。 所以如果按“将定义脉络翻过来”的想法来解释，也许就是：图像上某一点要先可导，当它可导时就是有斜率的，从而通过“点斜式直线定义”，这一点就是有一条“点斜式可唯一定义出的直线”的，从而这样一条唯一存在的直线就是该点的“切线”。 二、额外的问题： 在搜索上面的问题及尝试通过互联网找到答案时，看到网上有这么3句话： 1、在数学中，切线是与曲线在某一点相切的直线。更严格地说，曲线上某一点的切线是该点处的最佳线性逼近。切线的定义依赖于“可微性”的概念。如果曲线在某一点处是可微的，那么该点处的切线是唯一的； 2、如果曲线在某一点处不可微，则该点处的切线可能不存在，或者不唯一； 3、如果切线的斜率为无穷大，则切线是垂直的； 上面这三句话令我更加“头晕目眩”了。原本的问题没有得到解答，却又多出来更多的“读不懂且理解不了、想不出具体情形”的表述。我现在对数学学习的感觉就是：不要想太多，能把课后习题做出来，就知足了。

一、例题的出现 在《复变函数》最开始的部分，有一道例题，有如下两种表述方式： 例：证明：函数 在z=0点可导，且导数等于0。 或者另外一种表述方式： 例：讨论函数的可导性。 上面两种表述方式其实是一样的，针对的都是相同的函数，研究的课题也是一样的：求出它在点的导数。有趣的是，这两个表述方式都巧妙地避开了“不严谨”。 如果让我出这道题，也许会被写成：计算出的导函数，并求出的值。 按照我的设问方式，实际上也是可以正常进行这道题的求解的，但是“问法”相当于已经默认了这个复变函数是“处处可导”的了。上面的例题使用的设问方式就很“狡猾”，它们知道这个函数并非处处可导、只在时才可导，所以从最初的设问环节开始，就避开了“不严谨”的说法。 所以这道题按照例题的问法，至少应该从以下2个方面完成： 1、深刻的理解导数和导函数是什么，小心地求证原函数是否在指定的点处可导； 2、如果原函数并非处处可导，而只在部分区域上可求导。则要看题目要求的求导点是否在可导区间上（例如本例题要求在点得出导数值），在可求导区域内则进行求导、不在可求导区域内则不存在对应的导数。 二、函数可导、导函数的意义 个人理解：函数可导、有导函数，大意似乎是：这个函数连续、并且拥有连续的渐变光滑性，其中连续的渐变光滑性的意思就是他在图像上的每一个点上都有切线存在。 上面的说法如果正确的话，在实函数上是可以比较方便的通过图像理解的。但是对于复变函数而言，图像上理解起来有一些吃力。我还不知道如何通过图像去理解这个事情（图1、图2）。 例如下图1，就是相关复变函数的图像，从这个图像上能看出函数的确是连续的、并且是渐变的，如果它的导函数也是连续的、渐变的（所有的色彩过度都是渐变衔接），那么这个函数就是有导函数的。但是从图2来看，这个函数的导函数并不是在每一个区域都是渐变的，它只在所有的横坐标上有着渐变色彩，而在任何一个纵坐标的垂直线上，都是“固定单色”，不在拥有色彩的渐变性。因而大概猜测，这个函数的导函数是不存在的。 图像1：函数的图像 图像2：函数的图像 三、除z=0点外，其他地方不可导 “深色教材”的P17页就是上面的例题，但是我还是没有完全理解。整体意思就是它最终得出的结论就是，在除了z=0的点以外的地方，导函数的值都不存在极限，因而也就不可导。具体的求证过程如下： 已知函数 ，此时，由导数定义可知 情况1：当时，上式很容易看出来是趋于0的，所以极限存在、且是0； 情况2：当时，上式的极限将等于。此时第二项中的“分数”是多少呢？这里就要再展开详细的推敲一下，也就是产生了一个新的子问题： 子问题：已知，求 五、当时，求 上面已经将问题转成了新的问题，现在对这个新的问题进行推导。书上这个过程是非常简略的，但是我数学基础差、脑子也不好使，所以展开一点点的推导。…

Fibonacci Quarterly是由Fibonacci Association主办的一本期刊，专注于对斐波那契数列（Fibonacci）及相关的数学领域进行研究。它的网站是：https://www.fq.math.ca/ 在它的网站上提供了从创刊的第1卷起，至第47卷（1963年-2009年）的全部电子版期刊，从48卷之后发布的期刊虽然不再提供全文、但也仍然会提供摘要版本。 我对斐波那契数列相关的数学知识并不感兴趣、工作中也几乎没有与之相关的工作，但是因为业余生活中比较喜欢看数学方面的科普文章，所以对这个数列知道一些有趣的故事。 斐波那契数列是由1202年斐波那契收集阿拉伯和希腊的数学研究资料、编撰整理出来的《算盘书》中一个有趣的“兔子问题”引申、发展出来的。在《算盘书》中，斐波那契提出了一个“兔子问题”：假定大兔子每月生一对小兔子，而小兔子经过两个月就可以长成大兔子，那么自拥有一对大兔子开始，一年后可以繁殖多少对兔子？ 上面这个兔子问题，如果绘制成表格： 从这个表格上可以看出来，无论是大兔子的数量、还是大兔子当月诞下的小兔子数量、还有每个月新长大的小兔子数量（从3月开始），都是相同的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…… 这个数列就是“斐波那契数列”，它从第三项开始，每一项都是前两项的和。如果用计算式表达，可以表示成：。 这个数列以及它的第n项的表达式，看上去都似乎平平无奇，然而如果要想将它的第n项表达式写成通项公式便不是那么简单的事情了。事实上，它的通项公式是自1202年斐波那契数列提出之后，经过了600多年、直到1843年才由法国数学家雅克·比奈（Jacques Philippe Marie Binet）归纳出来，因而这个通项公式被命名为Binet公式：。 Binet通项式有趣的地方有两个： 1、首先是一目了然的：它其中含有无理数，这实在是令人感到不可思议。一个简单的、完全由整数构成的数列，竟然需要使用无理数构造它的通项式。实际上也的确如此，如果不是引入了无理数，那么也不至于经历了600多年才被比奈归纳出来； 2、另一个有趣的事情可以看出来，当斐波那契数列趋于无限大之后，它的前后两项的比值趋于 。而这个比值恰恰是黄金分割比例0.618…… 斐波那契数列除了上面这些浅显的常识之外，还有很多重要的应用，无论是在计算机、密码学；还是在金融与经济学；又或者在物理和工程学上，都能见到它的身影。也正因为如此，回到本文开始提到的网站，才会有专门的这个专刊，定期刊发有关斐波那契数列的最新研究成果和消息。 update 2024.11.10 1、最近闲来无事阅读《数学史》，看到其中也有关于斐波那契的历史介绍。其中提到斐波那契生活的公元1200年左右恰是欧洲文明的“黑暗时期”，那时的欧洲非常荒芜、落后，并没有后来文艺复兴时期的辉煌璀璨。可以说是人类历史上的蒙昧时期； 2、前几天自己因为记不住牛顿二项式展开，所以手动推敲了一遍。其中也用到了一个数列，不过并非斐波那契数列、而是杨辉三角形。我因为以前并不知道斐波那契数列，所以误以为杨辉三角形就是斐波那契数列，今天才知道两个数量完全风马牛不相及。