每年最闷热的日子到了，这段日子称为“三伏天儿”，“伏”大概是“藏”的意思，指的是地表阴气因为骄阳而隐藏到地表以下。整个地表都被烈日烘烤得阳气十足、再无阴凉。 也有人喜欢用“桑拿天”称呼这段日子，因为城市人不再做农事、可却喜欢泡“桑拿”，因而对他们来说，“桑拿”是个更形象的词汇、是随着新生事物诞生的新词。这个词来源于芬兰，芬兰语中的浴室或浴池称为“sauna”。 说起来估计在芬兰，人们去sauna也顶多就是冲冲水、洗洗澡吧。可城里人并不满足这样简单的洗浴形式，他们找到了更有妙趣的洗浴方式——蒸汽浴，同时再配上一个芬兰词，看上去更加的高大上、又有舶来味道。 坐在高温蒸汽房间中，借着热气腾腾的水汽将皮肤慢慢沁润、烘开汗腺，好似能够洗的更彻底、更干净、更通透、更过瘾。当然结账的时候花销也会更大一些。可是对于喜欢沉浸在体验中的城市人，这笔钱花的值得。只要体验好、感觉妙，花钱就是理所应当且无需吝啬的。 但若是让你在烈日的烘烤、高温的环抱中“享受一次免费桑拿”，恐怕很少有人乐意，哪怕免费也不会有人觉得这是享受。这着实是种煎熬。浑身不住的出汗，脖子上的汗渍反复被蒸干，从汗液中析出的盐分附着在因烈日灼伤的皮肤表面，瘙痒疼痛。 千万不要用手去抓，已经灼伤的皮肤经不住这样的力道，只会越抓越痒、如果忍受不住瘙痒而尽管解痒、解气的去抓挠，皮肤会被指甲划伤、进而瘙痒转成疼痛。这样的话即便是晚上回到家中，汗水已经洗净，白天抓过的地方依然又痒又痛、甚至红肿热辣，辗转在床上难以入睡。 所以三伏天，任谁都不大想出门免费蒸场桑拿，除非迫不得已。明智的人都会躲在房间中、最好躲在空调房中，享受着清凉，如果能再吃上一口冰镇西瓜，那才叫一个享受呢。 我便闷热的房间中苦苦煎熬，我的房间中并没有空调，仅有的风扇吹出来的都是35摄氏度的热气。不敢开窗、因为窗外吹进来的只会是更高温的热浪。只有不住的喝水、再偶尔将水拍打在头发上，三不五时的看看窗外，期待着一场雨水到来。 我在这间闷热的房间中，无所事事的 “忙碌”着手中的“电脑工作”。 这句话有些矛盾是吧？既然是无所事事、为什么要说是忙碌呢？这句话还有一些空洞无物，究竟什么是“电脑工作”？能够说出这种既矛盾又空洞的话，显然是因为我想自欺欺人。我没有任何的工作，但又不想承认自己闲着，所以就不断地在电脑上写字，写这篇文字，目的是让自己看上去似乎是个“作家”，我可没偷闲，我在创作呢。

Fibonacci Quarterly是由Fibonacci Association主办的一本期刊，专注于对斐波那契数列（Fibonacci）及相关的数学领域进行研究。它的网站是：https://www.fq.math.ca/ 在它的网站上提供了从创刊的第1卷起，至第47卷（1963年-2009年）的全部电子版期刊，从48卷之后发布的期刊虽然不再提供全文、但也仍然会提供摘要版本。 我对斐波那契数列相关的数学知识并不感兴趣、工作中也几乎没有与之相关的工作，但是因为业余生活中比较喜欢看数学方面的科普文章，所以对这个数列知道一些有趣的故事。 斐波那契数列是由1202年斐波那契收集阿拉伯和希腊的数学研究资料、编撰整理出来的《算盘书》中一个有趣的“兔子问题”引申、发展出来的。在《算盘书》中，斐波那契提出了一个“兔子问题”：假定大兔子每月生一对小兔子，而小兔子经过两个月就可以长成大兔子，那么自拥有一对大兔子开始，一年后可以繁殖多少对兔子？ 上面这个兔子问题，如果绘制成表格： 从这个表格上可以看出来，无论是大兔子的数量、还是大兔子当月诞下的小兔子数量、还有每个月新长大的小兔子数量（从3月开始），都是相同的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…… 这个数列就是“斐波那契数列”，它从第三项开始，每一项都是前两项的和。如果用计算式表达，可以表示成：。 这个数列以及它的第n项的表达式，看上去都似乎平平无奇，然而如果要想将它的第n项表达式写成通项公式便不是那么简单的事情了。事实上，它的通项公式是自1202年斐波那契数列提出之后，经过了600多年、直到1843年才由法国数学家雅克·比奈（Jacques Philippe Marie Binet）归纳出来，因而这个通项公式被命名为Binet公式：。 Binet通项式有趣的地方有两个： 1、首先是一目了然的：它其中含有无理数，这实在是令人感到不可思议。一个简单的、完全由整数构成的数列，竟然需要使用无理数构造它的通项式。实际上也的确如此，如果不是引入了无理数，那么也不至于经历了600多年才被比奈归纳出来； 2、另一个有趣的事情可以看出来，当斐波那契数列趋于无限大之后，它的前后两项的比值趋于 。而这个比值恰恰是黄金分割比例0.618…… 斐波那契数列除了上面这些浅显的常识之外，还有很多重要的应用，无论是在计算机、密码学；还是在金融与经济学；又或者在物理和工程学上，都能见到它的身影。也正因为如此，回到本文开始提到的网站，才会有专门的这个专刊，定期刊发有关斐波那契数列的最新研究成果和消息。 update 2024.11.10 1、最近闲来无事阅读《数学史》，看到其中也有关于斐波那契的历史介绍。其中提到斐波那契生活的公元1200年左右恰是欧洲文明的“黑暗时期”，那时的欧洲非常荒芜、落后，并没有后来文艺复兴时期的辉煌璀璨。可以说是人类历史上的蒙昧时期； 2、前几天自己因为记不住牛顿二项式展开，所以手动推敲了一遍。其中也用到了一个数列，不过并非斐波那契数列、而是杨辉三角形。我因为以前并不知道斐波那契数列，所以误以为杨辉三角形就是斐波那契数列，今天才知道两个数量完全风马牛不相及。