这一章很简短，只有2个话题：如何进行隐函数求导、隐函数求导能够完成相关变化率的求解。这两个话题看的我是“一头雾水”，全都能够看懂、给出的例题也都会做，但其中的细节是没有一点儿能搞清楚的，总结就是这一章看的是“似懂非懂”。 一、隐函数求导： 1、什么是隐函数？这就是摆在我面前的第一个困惑，《普》几乎是很快就引入了隐函数求导的方法，而没有说明什么是“隐函数”，它是否是个更基础的、无需多说的知识呢？不得而知； 2、隐函数求导的具体过程。这一点对应着书中的§8.1，不费力气就看明白了。我在阅读这个章节的时候，对“链式求导法则”有了更豁然的理解，这个“豁然”要趁着现在还没有忘记、尽快花时间详细记录一下。否则一旦过段时间，很可能又会忘记掉； 3、具体的隐函数求导例题。没有什么难度，书中给出的例题都能跟着做出来。但诚如上面提到的，因为我不知道什么是“隐函数”，所以例题能做出来是没有意义的，原因在于：如果放在陌生的问题中，我可能很难一眼看出“这是一个隐函数”、“这里应该用隐函数求导去解决问题”； 4、隐函数求二阶导。同样的也可以将例题做出来，但是这里也存在着一个问题：我不理解二阶导的微分符号中，它的“分子”和“分母”中的上标位置区别的具体含义，或者说二阶导的上标符号具体是什么含义我不清楚。虽然能够隐约感觉到答案，但并不明确，所以这里也要再额外花时间推敲一下，形如下面的二阶导微分公式中，上标“2”的位置和具体含义： 二、相关变化率 1、§8.2章节是《相关变化率》的现实应用，以及利用隐函数求导方法求解。能知道说的是什么事情、能完成书中的例题的求解。 2、但是这些例题我自己却不会构建。不会自己构建例题说明自己完全不理解什么是“相关变化率”，不会自己构建例题意味着现实中即便遇到了“相关变化率”的问题或现象，也很难认识他们，知道他们，看得清他们，联想到使用隐函数求导的方式去解决他们； 3、相关变化率的具体概念要再花时间了解、学习。直到自己能够构建出例题、不费力气的就能信口举出例子、自己能够构建出应用场景和应用例题，才算是了解了这个话题。我现在能想到的比较感性的生活场景是人的吃饭、排泄，以及与体重的关系。这样一个生动的例子，如果能够随心所欲的构建出各类例子，并通过隐函数求导解决，应该就算是了解了。 三、小结 1、如上，就是这一章节的学习心得。可见这一章当前只是囫囵吞枣地阅读了、了解了，并不理解； 2、接下来将继续阅读第九章：指数函数和对数函数。

一、前六章学习小结 已经将第六章看完了，现在开始阅读第7章的内容。前六章的内容实际上讲解的非常缓慢，都是在介绍什么是极限、什么是导数、什么是微分。我阅读、理解的更慢，断断续续好几个月才看完。却至今还是没有十分明白。 什么是极限？ 极限是指某一个函数如，当自变量趋近于某一个定点时，这个函数的结果、也就是因变量将会趋近于的结果。极限是一个明确的结果、是一个明确的数值、是一个明确的“结果数值”。 什么是导数？ 导数和上面的极限不同，相对于“极限”而言，导数并不是一个明确的结果数值，而是因变量的变化量与自变量的变化量的比值，也就是当在某一个明确的点（如）上时，的比值。所以它是“比值”、而非“数值”。 什么是微分？ 微分是我仍然不理解的概念，上学时不理解、如今重学微分课程还是不理解。微分似乎既不像是上面的数值、也不像是上面的比值，微分什么都不是，微分只是一个“求导的过程”、“求导的方法”、“求导的思想”。微分是一种“细分思想”，利用这种“细分思想”或“微分思想”完成求导的思维方式。 同时，微分还是一个“符号”，使用“导数符号”表示的是比值结果，使用微分符号表现的是求出”比值“之前的”心路历程“。而且使用微分符号因为能够更多的展现出”求导的心路历程和动机目的“，所以在更复杂的求导过程中，利用微分符号可以更明确的将计算细节展现出来，进而使用各种”微分技巧“进行化简、转换、运算，以完成最终的求导、得到想要得出的比值来。 大概就是上面这个印象。也许还要再多花一些时间继续学习，才能有更透彻的理解。 二、额外的与模电联想 在模电中也经常会提到“微分电路”和“积分电路”，这里的两个名词具体含义也整理一下，也许过几天会用到。 微分电路：电路的输出信号与输入信号的导数成正比。换言之，微分电路输出的是输入信号的变化率。 积分电路：输出信号与输入信号的积分成正比。换言之，积分电路输出的是输入信号的累计值。 三、开始学习第七章的内容 接下来的第7章还是进一步对极限、导数、微分进行更多的例题讲解。只不过其中的例题都不再是多项式函数，而是三角函数。 大概翻看了一下后面的章节目录，后面的不同章节中，仍然是对极限、导数、微分进行更多的例题讲解，和第7章的大概方向是一样的，唯有不同的是，后面章节分别再对指数函数、对数函数、双曲函数……等进行求导、微分。 之所以简单的“极限、导数、微分”要如此一轮又一轮的重复，我猜也许是有如下2个原因： 1、不同的函数类型，微分思想虽然都是一样的，但用到的技巧各不相同，所以要区分讲解，从而不断地引入各种新的微分技巧或定理； 2、不同的工科应用领域中，用到的函数不同，例如在计算机行业中，也许就会经常用到三角函数、但很少用到双曲函数，所以不同专业的人可以有取舍的仅对自己行业频繁用到的函数类型进行微分思想练习。 如上是当前的学习小结。

数学很差、差到高中数学都已经忘光、总要借助网络或计算器才能得到答案。最近读《普林斯顿微积分读本》，想提升一下自己的基础数学水平，并争取从头到尾将这本书读完。 断断续续看了两个多月，才刚看到§6.6。接下来将继续阅读§6.7-直接画出导函数的图像。 这篇文章目的是做一个之前阅读的备忘，否则过不了几天，也许又是狗熊掰棒子——把前面已经阅读过的内容忘记了。 一、前面章节主要讲的是什么？ 主要讲的应该都是高中的数学知识，属于从高中的代数、向着高等数学微积分入门课程的过渡，这个承上启下的“衔接部分”，主要讲了极限、导数的概念，并且通过一些例题解释了如何计算极限和导数。 在介绍导数的基本概念时，大概讲了讲导数的本质——在图像上某一点的导数，就是这一点上的斜线斜率，换言之就是这一点上的最佳线性逼近。 二、我现在还不理解的事情有哪些？ 主要是今天在阅读的时候，在“速度和加速度”章节上的“加速度为负数”例题上，有一个知识点不会：求解，或者说对于形如的方程如何求解。 书中只说用“因式分解”可以得到两个实根，并且其中一个是负数在例题的环境下应该舍弃。并没有具体的推导过程，显然是因为一元二次方程求解属于高中数学知识，显然便不展开了。但我已经忘光了，所以不会求解。只好用最笨的方法——观察法，找到了它的解。（幸好这个方程可以通过观察找出解来）。 update 2024.07.04：经过重温一元二次方程求解方法，大概知道了配方法和韦达定理，并且已经用配方法和它推导出的最终直接求根公式，完成了这部分的例题。 三、接下去要继续学习 以上就是最近的读书笔记，接下去，继续看：§6.7-直接画出导函数的图像。

一、初期问题 在之前的文章中，我尝试自己推导出电容被充电时，电容上的电压变化过程。 起初因为在等式变换过程中搞错了一个“正负号”，结果无论如何也推导不出来。并且因为这个“正负号”的错误很难看出来，所以一直被卡住。 昨天晚上又仔细地推敲了一遍推导过程，搞清楚了自己把正负号弄错的原因： 等号左边我做了一次分母两项调换、等号右边就应该相应的增加一个“负号”，但是忘记了。等到想起来要在右边增加符号的时候，又想当然的认为应该在等号两边同时增加负号。 这就导致了从一开始左右因数就差了一个“-1”，后来自以为的找到了问题时左右同乘-1后，其实还是左右相差一个“-1”。 所以这就令我误以为：无论是否找到了错误、修正了错误，都无法正确的完成推导。其实本质原因是：我找到了错误，但是修正之后还是错误的。 二、关联问题 在等式存在错误的阶段，我尝试基于错误的等式先完成后面的推导过程。这里其实是存在隐患的：基于错误的等式继续往后做不定积分计算时，只能在常数项在等号右边时，才能令结果与正确结果错得不多、如果将常数项放在等号左边，会令计算结果错的非常离谱。 因为有了上面的结论，我就想当然地认为：纵使今后找到了问题、修正了问题之后，常数项也只能放在等号的右边。 于是我就在上面的“假象”下，认定了：常数项必须放在等号的右边。于是进一步的：我就开始怀疑起原因：为什么常数项只能放在等号的右边呢？ 其实上面所有的现象和想法，都是被误导了的。 在真正的找到了那个该死的“负号”错误之后，今天我分别将常数项放在等号左边、放在等号右边，都是可以正常完成推导、计算、得出相同的结论的。 所以这就解释了：不定积分得出的常数项，无所谓放在哪里，都是可以的。