再谈昨天的“沃利斯积分“
昨天写的《沃利斯曾经解决过的几道积分问题》还存在一个令我感到“困惑”的问题，今天解决了，很开心。 昨天的文章中提到的积分：，通过换元法可以得到它的三角函数形式、也就是沃利斯积分形式：。而这两个等价的积分式又可以被统称为B积分，进而推导成Gamma计算式，完成求解。 这是昨天的文章中谈到的内容，结论无疑。 但是我的困惑在于：当我对上面诸多计算式，分别通过笔算、SageMath计算、计算器计算对比验证的时候，却发现我使用的计算器无法得到正确的结果，现象如下： 积分 积分式 Gamma结果 SageMath结果 fx-991CN结果 多项式积分 正确 正确 正确 沃利斯积分 正确 正确 1.569…… 问题现象表 可以看出我使用计算器得到的结果并不是正确的，原因在于在这个计算器的设置中有结果表达形式的设置，之前使用的是以数值作为结果表达形式，应该调整成使用弧度作为结果表达形式，通过这个设置的改变，才能得到正确的结果。 之所以要如此繁复的、不厌其烦的做这个验证，主要是心里没底，担心自己理解的不对。现在所有的辅助自动计算结果都与理论吻合、手算结果一致，我就可以放心大胆地说，这个知识点，我算是基本掌握了。 对于计算器，今天在查找它的设置时，额外了解到：计算器在进行积分计算时，使用了很多估算方法，例如辛普森法、梯形法、或者高斯-勒让德积分等。通过这些方法，计算器在给定积分区间内选取若干采样点，以近似计算积分值。 这些数值积分算法对我而言还很陌生、又觉得好奇有趣，只无奈精力实在有限，无法深入学习。
沃利斯曾经解决过的几道积分问题
在斯科特撰写的《数学史》一书中，P148页有一段简单的描述：沃里斯曾仿照卡佛来利的方法解决了纵坐标由的求积问题。 书上给出了如下若干积分及计算结果： 1、 2、 3、 4、 上面这4道题看起来还都是比较容易的，即便是第4题，只是计算量略微繁琐，但只要通过分部积分的方法，依然可以轻松得到答案。下面仅以第3题为例动笔跟着练习一下： 题目：计算 首先将多项式展开，然后利用分部积分法，对每一个简单积分进行求解，最终求和： 之所以使用第3题练笔，原因是后面的第4题如果如上方法推导的话，展开项更多，繁琐、浪费笔墨、且容易出错。但假设问题更复杂一点，例如想计算，恐怕就不再是“有一点繁琐”，而是会非常繁琐、几乎无法完成的事情了。 所以上面一系列相似的问题，还是应该再找一找更为通用、便捷的工具进行计算。自然而然的想到了利用换元法进行计算。以上面第4题为例尝试一下改用换元法完成计算吧： 考虑到积分范围是从0到1，计算式中又明显能够感受到毕达哥拉斯的味道，因而尝试对进行换元：。 换元准备1：重新调整积分上下限： 换元准备2：计算式换元： 换元准备3：微分项还原： 通过以上准备，最终完成换元： 至此问题得到了简化，能够看出最终的换元结果成为了B函数形态，将B函数原形写出来，目的是计算出B函数参数式： 即通过：， 可得到： 指明参数的B函数是： 使用转换： 最终得到Gamma函数： 其中，， 将以上三项计算结果带回Gamma计算式，得到最终结果 附：沃里斯简介 约翰·沃里斯（John Wallis，1616-1703）是17世纪英国著名的数学家、逻辑学家，也是剑桥大学三一学院的毕业生，后来成为牛津大学的萨维尔几何学教授。沃里斯在数学、物理学、密码学等多个领域做出了重要贡献，对微积分的早期发展也产生了深远影响。