为什么？ 直观上的感觉是，x趋于无限大，它的导数便趋于0，于是也便趋于0，最终的极限结果就是0了。这似乎很简单。但如果基于数学分析的角度而言，这每一步的理所当然，都需要经过证明，所以对于数学分析而言，这个简单的极限的推导过程，并不轻松，而是要啰里啰唆的说上一大堆，才敢给出结论来的。 它大体上分为两步：1、首先证明；2、然后利用连续函数的复合法则，完成复合函数求极限。以下是每一步的细节： 一、首先使用语言证明： 《普》中并未給出的證明、甚至都沒有提到這一事實，它似乎是默認讀者知道且相信這一極限的結果。這個簡單的極限從直觀上也確實一目瞭然，但是在更嚴謹的數學教材中，其實是會通過語言對它進行證明的。語言和語言相似，都是極限論證語言。使用语言完成证明的过程如下： 1、首先观察原始的题目，并且将原始题目调整一下写法：； 2、这个新的写法不再使用“等号”，从而表达式的意思变成了：当自变量x趋于无限大时，结果（因变量）将趋于0。调整成这样的表达之后，假设这个结论是成立的，那么它将意味着计算的结果与它所趋近于的数值0之间，是存在着一个距离的，而且这个距离可以表达出来，将这个距离表达为：； 3、此时 的含义就是“距离”，并且是 与 之间的距离。我们要证明的是，这个距离 可以任意的小、随意的小，想要多小就多小。换言之，假设 的确可以任意的小能够实现，意味着 与 可以无限接近，便可以将 视为 了； 4、现在直接大胆的提出：当任意指定时，自变量 时，的结果就比还要小。能否找到这个大胆的想法中的M呢？显然是可以的，通过不等式简单的变换，就能确定，也就是说自变量 时的所有x取值，都可以满足 的结果比还要小； 5、至此就可以得出结论：无论怎样小的 指定，都有 M 范围选择点可明确出来。因而可以实现，并且认为。此时的表达式便是：。（这里似乎还缺少对下标 的展开推导）。 二、连续函数的极限连续性：…

两道题目如下： 1、计算： 2、求证： 一、计算： 解法1：极限定理法 当x趋于无穷时：分子是个正弦反复跳跃、极限不存在；分母x趋于无穷、极限也不存在。因而分子和分母都没有明确的极限值的情况下，无法用商的极限运算法则进行计算。 考虑使用乘积的极限运算法则进行计算：。 分解出来的两个因式的结果分别是有界函数和无穷小，他们的乘积等于0。 解法2：三明治法 因为，所以 左边有： 右边有： 不等式两端在x趋于无穷时，同时趋于0，所以中间的极限 二、证明： 这个证明比较难、甚至是非常难。虽然在《高等数学》和《普林斯顿微积分读本》的开始、最基础的章节中就有这个重要极限的介绍、以及证明。但实际上这两本书都故意忽略了一个基础极限：。 在《高等数学》§1.7中，这里几乎是“一笔带过”假装“显而易见”糊弄过去了；在《普林斯顿》§7.1.5中则是给出了上面的结论而也语焉不详的糊弄过去的。 两本书用的证明方法相同、也都忽略了上面提到的基础，我也先忽略、假装是个事实，完成证明：基本思想依然是利用三明治定理，设法找到两边的函数，通过两边的极限，夹近出的结果。 构建如上图形，其中圆为单位圆、半径，可以看出：，这个不等式的左中右分别为： 左侧： 中间： 右侧： 带入不等式，得到：， 将这个不等式各个部分除以并颠倒分子和分母、简单整理之后得到： 左侧：，注意这里是“假装显而易见先糊弄过去”； 右侧：， 通过三明治定理，即可夹近出中间的极限：。 注意上面的三明治极限都是取的，这是因为原式中的分母不能取0点，因而要分别求它的左极限和右极限，上面只是在计算右极限。相应的进行符号斟酌、调整，可以再求出左极限：。…

对于某个函数，如果这个函数描述的是位置随时间的关系，那么这个函数反映的就是某个时刻所在的位置。 当对它求导，得到其一阶导函数，这个一阶导函数反映的是速度。如果一阶导数是个定值，意味着速度恒定；如果一阶求导结果不是定值、而是一个函数、或者更准确地说成是“导函数”，则意味着它的速度并不恒定，任意时刻的速度都是那一时刻的速度，此时只有带入具体的t参数，才能知道t时的瞬时速度。 继续再对一阶导函数求导，得到二阶导函数，反映的是加速度。和上面提到的速度相似的，如果二阶导结果是定值，意味着加速度恒定、否则意味着加速度也是随着时间变化的，因而二阶导的结果便是“二阶导函数”，这个导函数可以反映出加速度随时间的变化关系。 这时，如果继续升阶、求导，分别依次得到它的三阶导、四阶导、五阶导、甚至六阶导……这些导函数还有意义吗？又或者它们已经没有物理上的意义、只是一个纯粹的数学运算了呢？ 实际上这些高阶导函数依然有着物理意义的，这里有一张来自于wikipedia的图，示意出了这些高阶导函数的名称（是的，它们都有自己的明确的名称）： 在上图中的一阶导称为Velocity、二阶导称为Acceleration，这已经在此文开始提到了、也是微分课程中最先引入微分概念和应用时的举例，当是基础知识，不言自明了。而后面三阶导开始，每一个高阶导数的含义又是什么呢？ 三阶导数Jerk，是在Acceleration（加速度）的基础上，再次对时间求导。通常情况下中学物理中的物体运动，最复杂的情况也就是匀加速运动、加速度恒定的了。所以在中学物理中，Jerk得到的一般都是0。而显示情况下，加速度也不是恒定不变的，所以对加速度再次求导，便是Jerk，它称为“加加速度”、或者称为“冲击速度”。 Jerk在现实的运动物体（例如汽车）中，反映出来的就是颠簸、震荡；在航天器（例如飞机、火箭）上反映成的也是抖动、失速等情形。这是理想运动状态下不希望见到的情况，但现实中就是会遇到这些情况，使得加速度并不恒定，总会因为路面的石子、坑洞等引起加速度的变化。通过对Jerk的分析或记录，可以了解到运动物体的受冲击或震荡程度。 四阶导数Snap，五阶导数Crackle，还有六阶的Pop，则是依次对前者进行再一次的高阶求导。对于精密仪器或航天工程领域而言，越复杂的“震动”其高阶变化率约可能成为问题的隐患。现实和一般情况下这些高阶变化率是可以近似成零、或者就是零的，但当他们不为零是则意味着这些数值中隐含着产生振动的本源。 通过对取样数据进行这些高阶计算得到的“高阶加速度数值”的分析，便可以对当前震动进行归类归因，分析出当前震动产生的具体原因，从而为故障分析进行指导。 Snap、Crackle、Pop这三个名称因为已经不在通常的运动分析中出现，所以他们既没有一个很大众化的名称、甚至也没有比较公共的研究文献。仅在特定领域的运动分析中才会用到，因而命名上也就并不如速度、加速度、冲击速度等那么简明、共识了。 实际上，这三个名称更像是专业领域的科研人员临时、随性命名出来的，它们原本是一款早餐麦片的电视广告中出现的三个吉祥物，分别叫Snap、Crackle、Pop，也许是当时研究这些运动行为的高阶震动表现的科研人员在吃过这款早餐、或看过这则广告之后，随性起出来的名称吧。

此文写于2017年12月29日。 真假话游戏您接触过吗？话说： 有甲、乙、丙三位精灵，其中一位永远说真话、一位永远说假话、还有一位随机地给出真话或假话。您可以向他们发问三条是非题，每条问题只能问一位精灵，最终推理出谁说真话、假话，谁是随机答话。而精灵们只会回复“嘀”或“嗒”，但你并不知道它们的意思，只知道其中一个字代表“对”，另外一个字代表“错”。该如何发问、如何推理？ 三个精灵真假话问题 上面这道有趣的逻辑推理，有时间不妨试算一下，不过我们今天并不是做推理游戏，而是要来说一说这些推理背后的故事。 上面的推理大家都知道叫做“逻辑推理”，但是该如何推理并不是所有人都了解的，只有学过逻辑学和布尔代数的人才能够进行解答。这其中的布尔代数，就是我们今天故事的主角。我们来八一八它的创立过程。 布尔代数，听名字您就能够猜到，它是根据一位名叫“布尔”的人来命名的运算体系，这个人全名“乔治·布尔”，是一名出生于英格兰的数学家。 乔治·布尔和很多有名的数学家不同，他不但没有接受过系统的数学训练、身为鞋匠之子的他甚至只有小学毕业而已。但鞋匠父亲恰巧也十分迷恋数学、并且布尔自己很努力，在父亲的帮助和自己的努力下，布尔通过自学在数学领域进行了自我深造。 在他17岁左右的时候，因为家庭原因，他必须要考虑工作，因而导致他连继续自学的时间都没有了。起初布尔考虑承袭父业做一名鞋匠、也考虑过做当地的牧师、还在当地的学校中做过兼职授课，不过最终他选择了自己创办一所学校，于是在1835年的时候，布尔创立了一所小学校，从此便以教书为生。 布尔创立自己的学校之前，因为有着很深的数学情节，所以业余时间继续以钻研数学为主。他在给学生们授课的同时，自己也在深入的研究当时主流的数学热点——微分、变分等知识。偶尔也会发表一些自己的论文，也正因如此，他并没有与主流数学界脱节，反而由此认识了更多数学界的专业学术人员。 随着布尔对逻辑学方面的深入研究，他在符号逻辑这一数学分支上的贡献也越来越多，终于在1849年被任命为爱尔兰皇后学院的数学教授。在经历了几年的教授生涯之后，布尔最终著作出版了《The Laws of Thought》。 这本书中最重要的贡献之一，正是布尔仿照代数运算创立出的一套逻辑运算体系，并以自己的名字命名——布尔代数。布尔代数看上去十分的简单，参与运算的数值只有两个：1或者0；所能进行的运算也只有三种：与、或、非。这套全部构成只有5个符号的数学，看上去如此的“迷你”，甚至有人怀疑它能否被称为一套体系。 事实上，布尔代数在提出之后也的确没有被主流数学界所重视，人们当时更认可的还是布尔在诸如微分方面的贡献。直到布尔逝世73年之后，一位名叫“克劳德·埃尔伍德·香农”的小伙子（详见《数学家的故事——香农》）无意中发现电子回路与继电器开关状态可以借助布尔代数来构建模型、还可以利用布尔代数进行电话交换机最优解的求解，从此才令布尔代数进入了主流数学界的视野。 布尔的成功不仅是他从鞋匠之子自学成为数学教授的励志过程，更多的，在我看来是他家庭和养育子女的成功。布尔在进入到爱尔兰皇后学院不久，碰到了一名美丽的、比自己小17岁的妙龄少女Mary Everest（可不要小瞧了这个女人，她后来也是一位非常有名的女数学家），并且很快确立了恋爱关系直至结婚。婚后他们生育了五个女儿，令人感到敬佩的是他们的5个女儿也巾帼不让须眉，各个都是有名有望的人。 如果您不爱好数学、而是偏爱文学，那么您是否读过经典文学《The Gadfly》呢？没有读过吗？这本书的中文译名叫《牛虻》，这本书的原作者可就是布尔老先生的小女儿Ethel Lilian！ 先不聊布尔的女儿、外孙这一大家子世界名人，暂且说回布尔的妻子，提到美丽的Mary，就不得不说到“布尔之死”了，Mary Everest虽然在数学上拥有着和布尔一样的天赋、而且在家庭教育方面也十分的杰出。然而她却有着和大多数数学家一样的木讷，学术的高智商也导致了她在某些方面无知到令人无奈…… 1864年11月底的一天，已经50岁的布尔老先生从家中步行去学校授课，那一天下着大雨，布尔傻乎乎的没有打伞就出门了（数学家都木的如此令人抓狂么？）。一路走到学校之后身上已经淋透，他就这样穿着湿透的衣服给学生们上课。 结果可想而知，回到家中的布尔生病、发起了高烧。更令人惋惜的是他那美丽、木讷的妻子坚持相信“以毒攻毒”的治病偏方，她让自己的丈夫躺在床上，然后就一桶桶的凉水直接倒灌在布尔身上，经过这么一折腾，布尔的病情加重、并最终于1864年12月8日，因肺炎引发积液而病故。 上文已经提到，在布尔去世后，布尔代数并没有继续被主流数学界所重视，直到73年之后香农的研究中依靠布尔代数来创建电路模型、再后来就是大家所熟知的，图灵提出了图灵机的理论概念、冯·诺依曼进而制造出了电子计算机、一路发展到乔布斯发布了iPhone…… 如此看来，我们今天能够使用电脑、上网、访问今日头条、Bilibili、甚至您在阅读这篇文章，想一想其中都有着乔治·布尔做出的贡献。