两道题目如下： 1、计算： 2、求证： 一、计算： 解法1：极限定理法 当x趋于无穷时：分子是个正弦反复跳跃、极限不存在；分母x趋于无穷、极限也不存在。因而分子和分母都没有明确的极限值的情况下，无法用商的极限运算法则进行计算。 考虑使用乘积的极限运算法则进行计算：。 分解出来的两个因式的结果分别是有界函数和无穷小，他们的乘积等于0。 解法2：三明治法 因为，所以 左边有： 右边有： 不等式两端在x趋于无穷时，同时趋于0，所以中间的极限 二、证明： 这个证明比较难、甚至是非常难。虽然在《高等数学》和《普林斯顿微积分读本》的开始、最基础的章节中就有这个重要极限的介绍、以及证明。但实际上这两本书都故意忽略了一个基础极限：。 在《高等数学》§1.7中，这里几乎是“一笔带过”假装“显而易见”糊弄过去了；在《普林斯顿》§7.1.5中则是给出了上面的结论而也语焉不详的糊弄过去的。 两本书用的证明方法相同、也都忽略了上面提到的基础，我也先忽略、假装是个事实，完成证明：基本思想依然是利用三明治定理，设法找到两边的函数，通过两边的极限，夹近出的结果。 构建如上图形，其中圆为单位圆、半径，可以看出：，这个不等式的左中右分别为： 左侧： 中间： 右侧： 带入不等式，得到：， 将这个不等式各个部分除以并颠倒分子和分母、简单整理之后得到： 左侧：，注意这里是“假装显而易见先糊弄过去”； 右侧：， 通过三明治定理，即可夹近出中间的极限：。 注意上面的三明治极限都是取的，这是因为原式中的分母不能取0点，因而要分别求它的左极限和右极限，上面只是在计算右极限。相应的进行符号斟酌、调整，可以再求出左极限：。…