为什么？ 直观上的感觉是，x趋于无限大，它的导数便趋于0，于是也便趋于0，最终的极限结果就是0了。这似乎很简单。但如果基于数学分析的角度而言，这每一步的理所当然，都需要经过证明，所以对于数学分析而言，这个简单的极限的推导过程，并不轻松，而是要啰里啰唆的说上一大堆，才敢给出结论来的。 它大体上分为两步：1、首先证明；2、然后利用连续函数的复合法则，完成复合函数求极限。以下是每一步的细节： 一、首先使用语言证明： 《普》中并未給出的證明、甚至都沒有提到這一事實，它似乎是默認讀者知道且相信這一極限的結果。這個簡單的極限從直觀上也確實一目瞭然，但是在更嚴謹的數學教材中，其實是會通過語言對它進行證明的。語言和語言相似，都是極限論證語言。使用语言完成证明的过程如下： 1、首先观察原始的题目，并且将原始题目调整一下写法：； 2、这个新的写法不再使用“等号”，从而表达式的意思变成了：当自变量x趋于无限大时，结果（因变量）将趋于0。调整成这样的表达之后，假设这个结论是成立的，那么它将意味着计算的结果与它所趋近于的数值0之间，是存在着一个距离的，而且这个距离可以表达出来，将这个距离表达为：； 3、此时 的含义就是“距离”，并且是 与 之间的距离。我们要证明的是，这个距离 可以任意的小、随意的小，想要多小就多小。换言之，假设 的确可以任意的小能够实现，意味着 与 可以无限接近，便可以将 视为 了； 4、现在直接大胆的提出：当任意指定时，自变量 时，的结果就比还要小。能否找到这个大胆的想法中的M呢？显然是可以的，通过不等式简单的变换，就能确定，也就是说自变量 时的所有x取值，都可以满足 的结果比还要小； 5、至此就可以得出结论：无论怎样小的 指定，都有 M 范围选择点可明确出来。因而可以实现，并且认为。此时的表达式便是：。（这里似乎还缺少对下标 的展开推导）。 二、连续函数的极限连续性：…

昨天写的《沃利斯曾经解决过的几道积分问题》还存在一个令我感到“困惑”的问题，今天解决了，很开心。 昨天的文章中提到的积分：，通过换元法可以得到它的三角函数形式、也就是沃利斯积分形式：。而这两个等价的积分式又可以被统称为B积分，进而推导成Gamma计算式，完成求解。 这是昨天的文章中谈到的内容，结论无疑。 但是我的困惑在于：当我对上面诸多计算式，分别通过笔算、SageMath计算、计算器计算对比验证的时候，却发现我使用的计算器无法得到正确的结果，现象如下： 积分 积分式 Gamma结果 SageMath结果 fx-991CN结果 多项式积分 正确 正确 正确 沃利斯积分 正确 正确 1.569…… 问题现象表 可以看出我使用计算器得到的结果并不是正确的，原因在于在这个计算器的设置中有结果表达形式的设置，之前使用的是以数值作为结果表达形式，应该调整成使用弧度作为结果表达形式，通过这个设置的改变，才能得到正确的结果。 之所以要如此繁复的、不厌其烦的做这个验证，主要是心里没底，担心自己理解的不对。现在所有的辅助自动计算结果都与理论吻合、手算结果一致，我就可以放心大胆地说，这个知识点，我算是基本掌握了。 对于计算器，今天在查找它的设置时，额外了解到：计算器在进行积分计算时，使用了很多估算方法，例如辛普森法、梯形法、或者高斯-勒让德积分等。通过这些方法，计算器在给定积分区间内选取若干采样点，以近似计算积分值。 这些数值积分算法对我而言还很陌生、又觉得好奇有趣，只无奈精力实在有限，无法深入学习。

在斯科特撰写的《数学史》一书中，P148页有一段简单的描述：沃里斯曾仿照卡佛来利的方法解决了纵坐标由的求积问题。 书上给出了如下若干积分及计算结果： 1、 2、 3、 4、 上面这4道题看起来还都是比较容易的，即便是第4题，只是计算量略微繁琐，但只要通过分部积分的方法，依然可以轻松得到答案。下面仅以第3题为例动笔跟着练习一下： 题目：计算 首先将多项式展开，然后利用分部积分法，对每一个简单积分进行求解，最终求和： 之所以使用第3题练笔，原因是后面的第4题如果如上方法推导的话，展开项更多，繁琐、浪费笔墨、且容易出错。但假设问题更复杂一点，例如想计算，恐怕就不再是“有一点繁琐”，而是会非常繁琐、几乎无法完成的事情了。 所以上面一系列相似的问题，还是应该再找一找更为通用、便捷的工具进行计算。自然而然的想到了利用换元法进行计算。以上面第4题为例尝试一下改用换元法完成计算吧： 考虑到积分范围是从0到1，计算式中又明显能够感受到毕达哥拉斯的味道，因而尝试对进行换元：。 换元准备1：重新调整积分上下限： 换元准备2：计算式换元： 换元准备3：微分项还原： 通过以上准备，最终完成换元： 至此问题得到了简化，能够看出最终的换元结果成为了B函数形态，将B函数原形写出来，目的是计算出B函数参数式： 即通过：， 可得到： 指明参数的B函数是： 使用转换： 最终得到Gamma函数： 其中，， 将以上三项计算结果带回Gamma计算式，得到最终结果 附：沃里斯简介 约翰·沃里斯（John Wallis，1616-1703）是17世纪英国著名的数学家、逻辑学家，也是剑桥大学三一学院的毕业生，后来成为牛津大学的萨维尔几何学教授。沃里斯在数学、物理学、密码学等多个领域做出了重要贡献，对微积分的早期发展也产生了深远影响。