为什么？ 直观上的感觉是，x趋于无限大，它的导数便趋于0，于是也便趋于0，最终的极限结果就是0了。这似乎很简单。但如果基于数学分析的角度而言，这每一步的理所当然，都需要经过证明，所以对于数学分析而言，这个简单的极限的推导过程，并不轻松，而是要啰里啰唆的说上一大堆，才敢给出结论来的。 它大体上分为两步：1、首先证明；2、然后利用连续函数的复合法则，完成复合函数求极限。以下是每一步的细节： 一、首先使用语言证明： 《普》中并未給出的證明、甚至都沒有提到這一事實，它似乎是默認讀者知道且相信這一極限的結果。這個簡單的極限從直觀上也確實一目瞭然，但是在更嚴謹的數學教材中，其實是會通過語言對它進行證明的。語言和語言相似，都是極限論證語言。使用语言完成证明的过程如下： 1、首先观察原始的题目，并且将原始题目调整一下写法：； 2、这个新的写法不再使用“等号”，从而表达式的意思变成了：当自变量x趋于无限大时，结果（因变量）将趋于0。调整成这样的表达之后，假设这个结论是成立的，那么它将意味着计算的结果与它所趋近于的数值0之间，是存在着一个距离的，而且这个距离可以表达出来，将这个距离表达为：； 3、此时 的含义就是“距离”，并且是 与 之间的距离。我们要证明的是，这个距离 可以任意的小、随意的小，想要多小就多小。换言之，假设 的确可以任意的小能够实现，意味着 与 可以无限接近，便可以将 视为 了； 4、现在直接大胆的提出：当任意指定时，自变量 时，的结果就比还要小。能否找到这个大胆的想法中的M呢？显然是可以的，通过不等式简单的变换，就能确定，也就是说自变量 时的所有x取值，都可以满足 的结果比还要小； 5、至此就可以得出结论：无论怎样小的 指定，都有 M 范围选择点可明确出来。因而可以实现，并且认为。此时的表达式便是：。（这里似乎还缺少对下标 的展开推导）。 二、连续函数的极限连续性：…

昨天写的《沃利斯曾经解决过的几道积分问题》还存在一个令我感到“困惑”的问题，今天解决了，很开心。 昨天的文章中提到的积分：，通过换元法可以得到它的三角函数形式、也就是沃利斯积分形式：。而这两个等价的积分式又可以被统称为B积分，进而推导成Gamma计算式，完成求解。 这是昨天的文章中谈到的内容，结论无疑。 但是我的困惑在于：当我对上面诸多计算式，分别通过笔算、SageMath计算、计算器计算对比验证的时候，却发现我使用的计算器无法得到正确的结果，现象如下： 积分 积分式 Gamma结果 SageMath结果 fx-991CN结果 多项式积分 正确 正确 正确 沃利斯积分 正确 正确 1.569…… 问题现象表 可以看出我使用计算器得到的结果并不是正确的，原因在于在这个计算器的设置中有结果表达形式的设置，之前使用的是以数值作为结果表达形式，应该调整成使用弧度作为结果表达形式，通过这个设置的改变，才能得到正确的结果。 之所以要如此繁复的、不厌其烦的做这个验证，主要是心里没底，担心自己理解的不对。现在所有的辅助自动计算结果都与理论吻合、手算结果一致，我就可以放心大胆地说，这个知识点，我算是基本掌握了。 对于计算器，今天在查找它的设置时，额外了解到：计算器在进行积分计算时，使用了很多估算方法，例如辛普森法、梯形法、或者高斯-勒让德积分等。通过这些方法，计算器在给定积分区间内选取若干采样点，以近似计算积分值。 这些数值积分算法对我而言还很陌生、又觉得好奇有趣，只无奈精力实在有限，无法深入学习。

在斯科特撰写的《数学史》一书中，P148页有一段简单的描述：沃里斯曾仿照卡佛来利的方法解决了纵坐标由的求积问题。 书上给出了如下若干积分及计算结果： 1、 2、 3、 4、 上面这4道题看起来还都是比较容易的，即便是第4题，只是计算量略微繁琐，但只要通过分部积分的方法，依然可以轻松得到答案。下面仅以第3题为例动笔跟着练习一下： 题目：计算 首先将多项式展开，然后利用分部积分法，对每一个简单积分进行求解，最终求和： 之所以使用第3题练笔，原因是后面的第4题如果如上方法推导的话，展开项更多，繁琐、浪费笔墨、且容易出错。但假设问题更复杂一点，例如想计算，恐怕就不再是“有一点繁琐”，而是会非常繁琐、几乎无法完成的事情了。 所以上面一系列相似的问题，还是应该再找一找更为通用、便捷的工具进行计算。自然而然的想到了利用换元法进行计算。以上面第4题为例尝试一下改用换元法完成计算吧： 考虑到积分范围是从0到1，计算式中又明显能够感受到毕达哥拉斯的味道，因而尝试对进行换元：。 换元准备1：重新调整积分上下限： 换元准备2：计算式换元： 换元准备3：微分项还原： 通过以上准备，最终完成换元： 至此问题得到了简化，能够看出最终的换元结果成为了B函数形态，将B函数原形写出来，目的是计算出B函数参数式： 即通过：， 可得到： 指明参数的B函数是： 使用转换： 最终得到Gamma函数： 其中，， 将以上三项计算结果带回Gamma计算式，得到最终结果 附：沃里斯简介 约翰·沃里斯（John Wallis，1616-1703）是17世纪英国著名的数学家、逻辑学家，也是剑桥大学三一学院的毕业生，后来成为牛津大学的萨维尔几何学教授。沃里斯在数学、物理学、密码学等多个领域做出了重要贡献，对微积分的早期发展也产生了深远影响。

两道题目如下： 1、计算： 2、求证： 一、计算： 解法1：极限定理法 当x趋于无穷时：分子是个正弦反复跳跃、极限不存在；分母x趋于无穷、极限也不存在。因而分子和分母都没有明确的极限值的情况下，无法用商的极限运算法则进行计算。 考虑使用乘积的极限运算法则进行计算：。 分解出来的两个因式的结果分别是有界函数和无穷小，他们的乘积等于0。 解法2：三明治法 因为，所以 左边有： 右边有： 不等式两端在x趋于无穷时，同时趋于0，所以中间的极限 二、证明： 这个证明比较难、甚至是非常难。虽然在《高等数学》和《普林斯顿微积分读本》的开始、最基础的章节中就有这个重要极限的介绍、以及证明。但实际上这两本书都故意忽略了一个基础极限：。 在《高等数学》§1.7中，这里几乎是“一笔带过”假装“显而易见”糊弄过去了；在《普林斯顿》§7.1.5中则是给出了上面的结论而也语焉不详的糊弄过去的。 两本书用的证明方法相同、也都忽略了上面提到的基础，我也先忽略、假装是个事实，完成证明：基本思想依然是利用三明治定理，设法找到两边的函数，通过两边的极限，夹近出的结果。 构建如上图形，其中圆为单位圆、半径，可以看出：，这个不等式的左中右分别为： 左侧： 中间： 右侧： 带入不等式，得到：， 将这个不等式各个部分除以并颠倒分子和分母、简单整理之后得到： 左侧：，注意这里是“假装显而易见先糊弄过去”； 右侧：， 通过三明治定理，即可夹近出中间的极限：。 注意上面的三明治极限都是取的，这是因为原式中的分母不能取0点，因而要分别求它的左极限和右极限，上面只是在计算右极限。相应的进行符号斟酌、调整，可以再求出左极限：。…

对于某个函数，如果这个函数描述的是位置随时间的关系，那么这个函数反映的就是某个时刻所在的位置。 当对它求导，得到其一阶导函数，这个一阶导函数反映的是速度。如果一阶导数是个定值，意味着速度恒定；如果一阶求导结果不是定值、而是一个函数、或者更准确地说成是“导函数”，则意味着它的速度并不恒定，任意时刻的速度都是那一时刻的速度，此时只有带入具体的t参数，才能知道t时的瞬时速度。 继续再对一阶导函数求导，得到二阶导函数，反映的是加速度。和上面提到的速度相似的，如果二阶导结果是定值，意味着加速度恒定、否则意味着加速度也是随着时间变化的，因而二阶导的结果便是“二阶导函数”，这个导函数可以反映出加速度随时间的变化关系。 这时，如果继续升阶、求导，分别依次得到它的三阶导、四阶导、五阶导、甚至六阶导……这些导函数还有意义吗？又或者它们已经没有物理上的意义、只是一个纯粹的数学运算了呢？ 实际上这些高阶导函数依然有着物理意义的，这里有一张来自于wikipedia的图，示意出了这些高阶导函数的名称（是的，它们都有自己的明确的名称）： 在上图中的一阶导称为Velocity、二阶导称为Acceleration，这已经在此文开始提到了、也是微分课程中最先引入微分概念和应用时的举例，当是基础知识，不言自明了。而后面三阶导开始，每一个高阶导数的含义又是什么呢？ 三阶导数Jerk，是在Acceleration（加速度）的基础上，再次对时间求导。通常情况下中学物理中的物体运动，最复杂的情况也就是匀加速运动、加速度恒定的了。所以在中学物理中，Jerk得到的一般都是0。而显示情况下，加速度也不是恒定不变的，所以对加速度再次求导，便是Jerk，它称为“加加速度”、或者称为“冲击速度”。 Jerk在现实的运动物体（例如汽车）中，反映出来的就是颠簸、震荡；在航天器（例如飞机、火箭）上反映成的也是抖动、失速等情形。这是理想运动状态下不希望见到的情况，但现实中就是会遇到这些情况，使得加速度并不恒定，总会因为路面的石子、坑洞等引起加速度的变化。通过对Jerk的分析或记录，可以了解到运动物体的受冲击或震荡程度。 四阶导数Snap，五阶导数Crackle，还有六阶的Pop，则是依次对前者进行再一次的高阶求导。对于精密仪器或航天工程领域而言，越复杂的“震动”其高阶变化率约可能成为问题的隐患。现实和一般情况下这些高阶变化率是可以近似成零、或者就是零的，但当他们不为零是则意味着这些数值中隐含着产生振动的本源。 通过对取样数据进行这些高阶计算得到的“高阶加速度数值”的分析，便可以对当前震动进行归类归因，分析出当前震动产生的具体原因，从而为故障分析进行指导。 Snap、Crackle、Pop这三个名称因为已经不在通常的运动分析中出现，所以他们既没有一个很大众化的名称、甚至也没有比较公共的研究文献。仅在特定领域的运动分析中才会用到，因而命名上也就并不如速度、加速度、冲击速度等那么简明、共识了。 实际上，这三个名称更像是专业领域的科研人员临时、随性命名出来的，它们原本是一款早餐麦片的电视广告中出现的三个吉祥物，分别叫Snap、Crackle、Pop，也许是当时研究这些运动行为的高阶震动表现的科研人员在吃过这款早餐、或看过这则广告之后，随性起出来的名称吧。