为什么\(\lim_{x \to \infty} sin(\frac{1}{x})=0\)？
直观上的感觉是，x趋于无限大，它的导数便趋于0，于是\(sin(\frac{1}{x})\)也便趋于0，最终的极限结果就是0了。这似乎很简单。但如果基于数学分析的角度而言，这每一步的理所当然，都需要经过证明，所以对于数学分析而言，这个简单的极限的推导过程，并不轻松，而是要啰里啰唆的说上一大堆，才敢给出结论来的。
它大体上分为两步：1、首先证明\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\)；2、然后利用连续函数的复合法则，完成复合函数求极限。以下是每一步的细节：
一、首先使用\(\varepsilon – M\)语言证明\(\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0\)：
《普》中并未給出\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0\)的證明、甚至都沒有提到這一事實，它似乎是默認讀者知道且相信這一極限的結果。這個簡單的極限從直觀上也確實一目瞭然，但是在更嚴謹的數學教材中，其實是會通過\(\varepsilon-M\)語言對它進行證明的。\(\varepsilon-M\)語言和\(\varepsilon-\delta\)語言相似，都是極限論證語言。使用\(\varepsilon-M\)语言完成证明的过程如下：
1、首先观察原始的题目\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0\)，并且将原始题目调整一下写法：\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \to 0\)；
2、这个新的写法不再使用“等号”，从而表达式的意思变成了：当自变量x趋于无限大时，结果（因变量）将趋于0。调整成这样的表达之后，假设这个结论是成立的，那么它将意味着计算的结果\(\frac{1}{x}\)与它所趋近于的数值0之间，是存在着一个距离的，而且这个距离可以表达出来，将这个距离表达为：\(\varepsilon = |\frac{1}{x} – 0|\)；
3、此时 \(\varepsilon\) 的含义就是“距离”，并且是 \(\frac{1}{x}\) 与 \(0\) 之间的距离。我们要证明的是，这个距离 \(\varepsilon\) 可以任意的小、随意的小，想要多小就多小。换言之，假设 \(\varepsilon\) 的确可以任意的小能够实现，意味着 \(\frac{1}{x}\) 与 \(0\) 可以无限接近，便可以将 \(\frac{1}{x} \to 0\) 视为 \(\frac{1}{x} = 0\) 了；
4、现在直接大胆的提出：当任意指定\(\varepsilon\)时，自变量 \(|x|>M\) 时，\(|\frac{1}{x} – 0|\)的结果就比\(\varepsilon\)还要小。能否找到这个大胆的想法中的M呢？显然是可以的，通过不等式简单的变换，就能确定\(M = \frac{1}{\varepsilon}\)，也就是说自变量 \(|x|>\frac{1}{\varepsilon}\) 时的所有x取值，都可以满足 \(|\frac{1}{x} – 0|\) 的结果比\(\varepsilon\)还要小；
5、至此就可以得出结论：无论怎样小的 \(\varepsilon\) 指定，都有 M 范围选择点可明确出来。因而\(\frac{1}{x} \to 0\)可以实现，并且认为\(\frac{1}{x} = 0\)。此时的表达式便是：\(lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0\)。（这里似乎还缺少对下标 \(x \to \infty\) 的展开推导）。
二、连续函数的极限连续性：
上面仅仅才完成了 \(lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0\) 的求证，并没有完成 \(lim_{x \to \infty} sin(\frac{1}{x})=0\) 的求证。所以还要继续第二步，通过 \(lim_{x \to \infty} f(x)=0\) 连续复合出 \(lim_{x \to \infty} g(f(x))=0 \)。
这里用到了一个连续函数的极限可复合的性质，本文暂不展开，仅先给出结论：
\(lim_{x \to \infty} g(f(x)) = g( lim_{x \to \infty} f(x)) \)，将上面的计算结果带入到这个特性当中，可以得到如下的等式：
\(lim_{x \to \infty} sin(\frac{1}{x}) \\ = sin( lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}) \\ = sin(0) \\ = 0 \)从而最终完成上面的计算（或证明，因为复合型并没有给出证明，所以暂且只能说是完成了计算）。
额外的：上面的原始问题是出现在《普林斯顿微积分读本》3.3章节中，并未给出证明，而在《高等数学》等传统教材中才有上述证明。在我阅读3.3章节时，又撇了一下3.2章节，其中也有一些困惑不太明确。
3.2章节中提到这样一句话：若 \(\lim_{x \to a-} f(x) = L\) 且 \(\lim_{x \to a+} f(x) = L\)，则认为 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处的双侧极限存在，即为 \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)。
我的困惑是：若 \(\lim_{x \to a-} f(x) = L\)、\(\lim_{x \to a+} f(x) = L\)、\(f(x) \neq L\)，这种情况下，还能认为 \(\lim_{x \to a} f(x) = L\)么？
这个问题问了一下ChatGTP，它给我的答复是：
可以的，函数在 \(x=a\) 处的极限值仅依赖于函数在接近 \(a\) 时的趋势，而不是函数在 \(a\) 点的实际取值。因此，即便 \(f(a) \neq L\)，只要左右极限相等且等于 \(L\)，就可以认为 \(lim_{x \to a} f(x) = L\)。
