两道极限计算的简单题目

两道题目如下:

1、计算:\(\lim_{x \to \infty} \frac{sin(x)}{x}\)

2、求证:\(\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1\)


一、计算:\(\lim_{x \to \infty} \frac{sin(x)}{x}\)

解法1:极限定理法

当x趋于无穷时:分子是个正弦反复跳跃、极限不存在;分母x趋于无穷、极限也不存在。因而分子和分母都没有明确的极限值的情况下,无法用商的极限运算法则进行计算。

考虑使用乘积的极限运算法则进行计算:\(\lim_{x \to \infty} \frac{sin(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} sin(x) \times \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\)。

分解出来的两个因式的结果分别是有界函数无穷小,他们的乘积等于0。

解法2:三明治法

因为\(-1 \le sin(x) \le 1\),所以\(-\frac{1}{x} \le \frac{sin(x)}{x} \le \frac{1}{x}\)

左边有:\(\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} = 0\)

右边有:\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\)

不等式两端在x趋于无穷时,同时趋于0,所以中间的极限\(\lim_{x \to \infty}\frac{sin(x)}{x} = 0\)


二、证明:\(\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1\)

这个证明比较难、甚至是非常难。虽然在《高等数学》和《普林斯顿微积分读本》的开始、最基础的章节中就有这个重要极限的介绍、以及证明。但实际上这两本书都故意忽略了一个基础极限:\(\lim_{x \to 0} cos(x) = 1\)。

在《高等数学》§1.7中,这里几乎是“一笔带过”假装“显而易见”糊弄过去了;在《普林斯顿》§7.1.5中则是给出了上面\(\lim_{x \to 0} cos(x) = 1\)的结论而也语焉不详的糊弄过去的。

两本书用的证明方法相同、也都忽略了上面提到的基础,我也先忽略、假装\(\lim_{x \to 0} cos(x) = 1\)是个事实,完成证明:基本思想依然是利用三明治定理,设法找到\(f(x) = \frac{sin(x)}{x}\)两边的函数,通过两边的极限,夹近出\(\lim_{x \to 0}f(x)\)的结果。

构建如上图形,其中圆为单位圆、半径\(r=1\),可以看出:\(S_{\Delta OAB} < S_{sector OAB} < S_{\Delta OAW}\),这个不等式的左中右分别为:

左侧:\(S_{\Delta OAB} = \frac{1}{2} |OA| |BI| = \frac{1}{2} |BI| = \frac{1}{2} sin(x) \)

中间:\(S_{sector OAB} = \frac{\pi r^2}{2 \pi} x = \frac{1}{2} x\)

右侧:\(S_{\Delta OAW} = \frac{1}{2} |OA| |AW| = \frac{1}{2} |AW| = \frac{1}{2} tan(x)\)

带入不等式,得到:\(\frac{1}{2} sin(x) < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2} tan(x)\),

将这个不等式各个部分除以\(sin(x)\)并颠倒分子和分母、简单整理之后得到:\(cos(x) < \frac{sin(x)}{x} < 1\)

左侧:\(\lim_{x \to 0^+} cos(x) = 1\),注意这里是“假装显而易见先糊弄过去”;

右侧:\(\lim_{x \to 0^+} 1 = 1\),

通过三明治定理,即可夹近出中间的极限:\(\lim_{x \to 0^+} \frac{sin(x)}{x} = 1\)。

注意上面的三明治极限都是取的\(x \to 0^+\),这是因为原式\(\frac{sin(x)}{x}\)中的分母不能取0点,因而要分别求它的左极限和右极限,上面只是在计算右极限。相应的进行符号斟酌、调整,可以再求出左极限:\(\lim_{x \to 0^-} \frac{sin(x)}{x} = 1\)。

这样最终可以分别得出:\(\lim_{x \to 0^+} \frac{sin(x)}{x} = 1\)和\(\lim_{x \to 0^-} \frac{sin(x)}{x} = 1\)两个结论。左极限和右极限相等,最终确定它的极限存在,并且是:\(\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1\)。


三、遗留问题:关于\(\lim_{x \to 0} cos(x) = 1\)

之所以说这个问题“非常难”,是因为其中假设了一个“显而易见”的\(\lim_{x \to 0} cos(x) = 1\),其实它并不是显而易见的。这个极限需要用到泰勒近似,而泰勒近似是泰勒展开式的内容,泰勒展开式又是泰勒级数的内容。

而泰勒级数是“微积分”课程中,在完成极限、导数、微分、积分、级数这五部分循序渐进的知识之后,才谈到的知识。所以这有点儿像“贪吃蛇吃自己的尾巴”,所以只能先假设它是显而易见的了。

1、直观的、显而易见的结论:

如果从 \(f(x) = cos(x)\)的函数图像来看,这个函数在原点附近的确是连续的、无瑕点的、光滑的,因而当它趋近于0时,其极限就是\(cos(0)=1\)。

但是在有关函数极限的基础定理定义中,并没有这个“显而易见”的定义。所以如果严谨一些,还是应该通过推导、证明,才能得出关于它确凿为1的结论。

2、对\(\lim_{x \to 0} cos(x) = 1\)进行证明:

证明过程比较“难”,需要做一些初期的准备工作:

2.1、首先通过构建一个新的辅助函数用于巧妙地构建出可用于推导的机会。这就比较难,因为是“巧妙地构建出来”,需要的是灵感;

2.2、通过三角函数二倍角公式对上面“巧妙构建出来的”函数进行简化,将多项式转换成“单项式”。这里也比较难,原因在于“二倍角公式”一般情况下难以记住;

2.3、之后通过泰勒展开式对简化后的“单项式”进行展开,得到这个计算式的级数计算式。这里更难,原因是泰勒展开式基本是要等微积分课程的中后期才能学到;

2.4、对泰勒级数进行区段的划分,形成\(Result = P_N + R_{N+1}\)的形式,目的是通过这样的划分构建出不等式;

2.5、最后,通过上面得到的不等式,再次应用三明治定理,左侧极限与右侧极限相等进而得出中间的计算式的极限值。而最终中间极限就是原始极限,从而得出原始极限的最终结果。

只有通过上面的1-5步骤,才能确凿、肯定的得出\(\lim_{x \to 0} cos(x) = 1\)的结论。详细过程如下:

2-1、先构建一个新的函数 \(g(x) = 1-cos(x)\),并且期望证明\(\lim_{x \to 0} (1-cos(x)) = 0\),如果这个证明成功了,才可以确定\(\lim_{x \to 0} 1 = \lim_{x \to 0} cos(x) = 1\)。

2-2、利用三角函数二倍角公式对上述函数\(g(x)\)进行简化:\(g(x) = 1-cos(x) = 2 sin^2(\frac{x}{2})\)。这样就将欲证\(\lim_{x \to 0}(1-cos(x))=0\)问题,转换成了需证\(\lim_{x \to 0} 2 sin^2(\frac{x}{2}) = 0\)问题。

2-3、将\(g(x) = sin^2(\frac{x}{2})\)视为“三明治的中心”,找到可以夹逼它的下界函数\(left(x)\)和上界函数\(right(x)\)。因为g(x)的非负特性,所以下届函数可以直接使用常数;由通过泰勒计算,可得到他的上界函数。为思路连贯,先不考虑细节,直接得出不等式:\( left(x) < g(x) < right(x)\),即\( 0 < 2 sin^2(\frac{x}{2}) < \frac{x^2}{2}\)。

左侧计算式极限:\(\lim_{x \to 0} 0 = 0\),

右侧计算式极限:\(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2} = 0\),

依据三明治定理,中间的函数极限便明确了:\(\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} 2 sin^2(\frac{x}{2}) = 0\)。

2-4、最后再将结论倒退着带回到原始问题中,原始问题也就得到了证明。

3、子问题:利用泰勒展开式得到不等式\(2 sin^2(\frac{x}{2}) < \frac{x^2}{2}\):

上面这个“子问题”,便是在同济版《高等数学》(第四版)中一笔带过的地方,它的推导思路是:首先利用泰勒展开,将含有三角函数的计算式\(2 sin^2(\frac{x}{2})\),展开成没有三角函数的多项式。而这个展开的多项式中恰巧包含着\(\frac{x^2}{2}\),这样便可以构建出上面的不等式了。

首先定义一个新的、简单的三角函数\(t(x) = sin(x)\),然后用泰勒多项式对它在\(x \to 0\)处进行展开,可以得到泰勒展开式是:\(t(x) = sin(x) = \sum_{n=0}^{ \infty }(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x – \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} – \cdots\)

将\(\frac{x}{2}\)带入上述泰勒展开式,即可看出\(sin(\frac{x}{2}) < \frac{x}{2}\)。不等式两边同时平方、并增加系数,不影响不等号方向:

\(2 \cdot sin(\frac{x}{2}) \cdot sin(\frac{x}{2}) < 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}\),从而完成了这一子问题的解答。

每天学习一些新的知识,尽可能保持自己的学习动力。

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电源电路板部分存在着一些小问题,已经进行了调整,将其中的一颗多余的电阻移除并移入到了电位器电路板中,然后这个电源电路板就可以再次提交印刷了。 趁着心情不错,顺便将第三部分——Jack板也画出来了,并且准备进行这块板的测试打印: 如果顺利的话,那么剩下的就是比较简单的电位器板、还有一块相对比较难的前面板了。前面板之所以难,是因为面积很小、但是上面要焊接的元件却非常多,不过我暂时先不考虑后面的事情,只把眼前的东西搞好,走一步看一步吧。 说起当前这个jack电路板,其实也是有一些难度的,这是我在制作前面的电源板时就发现了的问题:1.27mm的排针、排母焊接对我而言非常难。前面在进行电源板的焊接时,我曾一度担心1206的封装对我很难,不过经过实际操练发现虽然困难、但也能搞定。但是这个1.27的排针,练习了好多都没有搞定。 看别人对它的焊接,焊锡非常的丝滑,但是到我这里总是非常难——一个不留神就会连锡,无论用焊锡丝、还是用焊锡膏;无论用含铅的、还是无铅的,都很难搞定。 我一直在想实在不行就改用2.54的排针,但是PCB上的空间实在有限,无论怎么摆弄都掰不开地方。只能继续硬着头皮练习自己的焊接技术,希望能够通过熟能生巧找到感觉,搞定这块板的制作。

完成了使用IP5407对锂电池进行充电的测试

之前在《尝试使用IP5407完成对锂电池进行充电》和《今天并没有完成关于IP5407的使用测试》都提到了要通过IP5407完成对锂电充电的测试,但是一直没有进行,原因是我觉得这个电路比较复杂,自己搭棚测试实在是太麻烦了,所以就一直在等PCB印刷电路。 印刷电路到了之后,我先在这个电路板上进行了MT3608的测试,第一块板子废掉了,然后用第二块完成了MT3608的测试,效果比较满意。今天继续用第三块板子,试着完成了IP5407的测试,效果也很满意。 其实在上面提到的第一块板子中,我是同时进行了两个芯片的测试,结果在测试IP5407的时候发现电路画错了,然后在飞线时将第一块板子损坏了。今天进行IP5407的焊接时,格外谨慎,并且正确的做了飞线处理,然后测试结果正常、效果理想。 做错的地方在于:我的电路图里面电池Battery的负极并没有连接到地上,而是通过一颗IP3025芯片处理之后才连接到地上,然而在当前的测试过程中,并没有IP3025,所以电池的负极一直是悬空状态的。我现在比较纠结一个问题: 1、如果将IP3025贴装上去,那就意味着当前的“第二个电路板”还没有完成,还需要再将IP3025部分实现; 2、如果不贴装IP3025,则当前的电路图还需要调整一下,将电池的负极接到地上。 虽然上面的纠结看上去并不复杂——完全可以通过一个跳线、或者一个0Ω的电阻解决。但实际上现在的电路板上已经没有地方可以放置这个设置了。我现在能够想到的方法,是将DCDC升压功能中的R1/R2设置电阻中的R19电阻移除出去,只保留R1/R2设置电阻中的R6和R7两颗电阻,这样就可以省出一个电阻位置来完成上面IP3025是否安装的设置: 这里的R19是配合电位器完成调压使用的,之所以如上设计,是想着如果不接入电位器,整个电路依然是可以正常工作的: 不接入电位器时,DCDC得到供蜂鸣器使用的最大电压——11.4V;如果接入电位器电路,那么这个升压部分就可以通过电位器进行电压的调整,范围是5V-10V之间,从而实现对蜂鸣器的音量大小调节。 如上看来,其中的R19如果移除出去、放到电位器电路板上,反而更加的合理。所以当前的电路板,对于MT3608部分是正确的、对于IP5407部分也基本正确,需要的改动如下: 1、将R19从当前板路中移除、放到电位器板路中; 2、对当前的电池负极进行正确的接地处理,要考虑:有IP3025时电池负极接入到IP3025中;没有时电池的负极进行接地。 完成以上改动之后,这块电路板也就可以暂且认为是基本完成了。当然还有一个小问题:对于MT3608的使能引脚(上图中的4-EN引脚),是否要接一颗电阻在这里才更为稳妥?

通过MT3608进行升压问题不大

前几天在《使用MT3608进行升压备忘》中记录了若干困惑和问题,今天通过电路板实现的电路基本上把之前的困惑都解决了,但也引入了一些新的问题: 1、这颗芯片的升压公式是准确的,Vout=Vref*(1+R1/R2),这个公式没有错,我使用的配置电阻是R1=18K、R2=1K,理论上应该得到0.6*(1+18)=11.4V的电压。实际测试不多不少、正好是11.4V;并且无论输入电压怎样波动,例如我将输入电压设置到2.11V,依然可以得到11.4V的输出电压; 2、之前在使用面包板+杜邦线的环境下,效果远达不到上面这么理想。在面包板+杜邦线的环境下,输出电压会随着输入电压不断地改变;而且当输入电压低于5V时,则不能得到有效的升压。估计是搭建的杜邦线比较凌乱、比较长,所以信号的完整性和有效性被破坏引起的吧?不清楚具体原因,也顾不上深究了; 3、今天在完成了第一个实验板之后,我草草的看了一眼升压结果,只瞥见11.4V时,内心窃喜。但也因为这个“窃喜”冲昏了头脑,没有做更多的测试便继续后面的工作。结果后面的工作将电路板搞坏了,当回顾一天的工作时,对于MT3608的升压表现有些忐忑,毕竟没有做更多的测试,但是看着眼前已经坏掉的电路,着实令人崩溃; 4、然后就只好硬着头皮又做了一块新的试验板,并且反复确认过它的升压表现,才确定这个电路基本上是正确的。但是就在进行这个测试的时候,发现它并不能与我之前制作的“蜂鸣器电路板”正常配合。结果就是又花了4个小时排查问题,直到此刻虽然找到了问题,但并不知道其中的原因,苦恼。 5、关于上面第4点的问题,需要再单开一篇博客进行记录了; 6、在今天的这块实验板上,除了MT3608升压部分,还有电池充电部分的电路。经过测试发现电池充电电路并不能正常工作,所以关于电池的充电,还需要继续花时间学习。 备注:上面第3点中提到的“将电路板搞坏了”,搞坏了的表现是:MT3608不再工作,MT3608的输出电压始终与输入电压相同。这一点不难理解:因为MT3608不工作了,所以输出点的点位就是输入点的电位。这个问题表现与我之前在面包板+杜邦线时的表现是不一样的,但是与我在使用成品板时也遇到过,列一个表格也许更能表达清楚: 问题表现 出现位置 故障原因 解决方案 输出电压始终与输入电压相同 成品板 由于成品板上的电位器设置错误,导致成品板上的MT3608不工作 将电位器逆时针旋转20圈以上 输出电压始终与输入电压相同 自己制作的PCB电路板 因为调试过程中误操作损坏了MT3608芯片 芯片损坏导致芯片无法工作,更换芯片才可能修复问题 输入电压5V以下时无法升压、5V以上虽然升压但是升压值不稳定、波动巨大 面包板+杜邦线电路中 所有IC均与PCB版本相同,所以可能的原因只可能是出在面包板+杜邦线上,猜测是杜邦线太长导致 没有深入推敲,直接改用PCB印刷电路后,故障不再出现